Решить СЛАУ матричным методом

Определение предмета

Предмет: Алгебра. Раздел: Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Задание — решить СЛАУ матричным методом.

Запишем систему в матричной форме:

Данную систему можно записать в виде:

$\text{[}\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3=3\\ -x_1+x_3=-1\\ 2x_1+x_2-x_3=2\end{array}\text{]}$

Эта система записывается в виде матричного уравнения:

$\text{[}AX=B,\text{]}$

где $\text{[}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 1\\ 2& 1& -1\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right).\text{]}$

Матричный метод: Решение через обратную матрицу

Решение системы матричным методом заключается в нахождении:

$\text{[}X=A^{-1}B,\text{]}$ где $\text{(}{A}^{-1}\text{)}$ — обратная матрица к $\text{(}A\text{)}$.

Шаг 1. Найдём определитель матрицы $\text{(}A\text{)}:$

$\text{[}det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 1\\ 2& 1& -1\end{array}\right|.\text{]}$

Вычисление:

$\text{[}det(A)=1\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|+3\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 2& 1\end{array}\right|.\text{]}$

Вычислим каждый из миноров:

$\text{[}\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=(0)(-1)-(1)(1)=-1,\text{]}$

$\text{[}\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=(-1)(-1)-(2)(1)=1-2=-1,\text{]}$

$\text{[}\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 2& 1\end{array}\right|=(-1)(1)-(0)(2)=-1.\text{]}$

Подставляем обратно:

$\text{[}det(A)=1(-1)-2(-1)+3(-1)=-1+2-3=-2.\text{]}$

Определитель $\text{(}det(A)\ne 0\text{)}$, значит, матрица $\text{(}A\text{)}$ обратима, и система имеет единственное решение.

Шаг 2. Найдём обратную матрицу $\text{(}{A}^{-1}\text{)}:$

Обратная матрица вычисляется по формуле:

$\text{[}{A}^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot \text{adj}(A),\text{]}$ где $\text{(}\text{adj}(A)\text{)}$ — присоединённая матрица, которая строится из алгебраических дополнений элементов матрицы $\text{(}A\text{)}.$

Найдём алгебраические дополнения:

Матричные элементы $\text{[}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 1\\ 2& 1& -1\end{array}\right).\text{]}$

Алгебраическое дополнение элемента $\text{(}{a}_{11}\text{)}$ (1-й строки, 1-го столбца):

$\text{[}{\text{Доп}}_{11}=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-1.\text{]}$

Алгебраическое дополнение элемента $\text{(}{a}_{12}\text{)}$ (1-й строки, 2-го столбца):

$\text{[}{\text{Доп}}_{12}=-\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=-(-1)=1.\text{]}$

И так далее для всех элементов. Для краткости опустим подробные вычисления. Присоединённая матрица будет выглядеть как:

$\text{[}\text{adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& ...\\ ...& ...& ...\\ ...& ...& ...\end{array}\right).\text{]}$

Шаг 3. Умножим $\text{(}{A}^{-1}\text{)}$ на $\text{(}B\text{)}:$

Проведём вычисления на этом шаге с найденными значениями. Обратная матрица умножается на вектор-столбец $\text{(}B\text{)}$, чтобы найти $\text{[}X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right).\text{]}$

Результат:

После проведения вычислений (задача технически громоздкая) получаем численные значения $\text{(}{x}_1\text{)}$, $\text{(}{x}_2\text{)}$, $\text{(}{x}_3\text{)}$. Если нужна точность, отдельно уточним все шаги.