Решить систему уравнений методом подстановки через формулу

Определим предмет и раздел:

Предмет: Математика
Раздел: Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Задание:

Решить систему уравнений методом подстановки через формулу. Также требуется выбрать правильную матрицу для вычисления решения.

Система уравнений задается в виде:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3 \\ x_1 - 3x_2 + x_3 = -1 \\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 2 \end{cases} \]

В задачах такого типа мы используем представление системы в виде матрицы.


Основные шаги решения:
  1. Матрица системы: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}. \]
  2. Вектор-столбец свободных членов: \[ B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}. \]
  3. Выполняем решение через умножение обратной матрицы \( A^{-1} \) на столбец \( B \): \[ X = A^{-1} \cdot B. \]

Анализ ответов:

В задачах такого рода даны варианты ответов с уже рассчитанными обратными матрицами и вектором свободных членов. Нам надо просто проверить правильность подстановок.

Определим нужный вариант:

Матрица \( A^{-1} \) указана (в каждом варианте) в виде:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.5 & 2.5 & -1 \\ -0.5 & 3.5 & 2 \\ 0.5 & 1.5 & -1 \end{pmatrix}. \]

Вектор свободных членов:

\[ B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

Перемножим \( A^{-1} \) и \( B \) для проверки.


Проверка умножения:

Выполняем перемножение матрицы и вектора-столбца:

\[ X = \begin{pmatrix} 0.5 & 2.5 & -1 \\ -0.5 & 3.5 & 2 \\ 0.5 & 1.5 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

Считаем построчно:

  1. Первая строка: \[ x_1 = 0.5 \cdot 3 + 2.5 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 1.5 - 2.5 - 2 = -3. \]
  2. Вторая строка: \[ x_2 = -0.5 \cdot 3 + 3.5 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = -1.5 - 3.5 + 4 = -1. \]
  3. Третья строка: \[ x_3 = 0.5 \cdot 3 + 1.5 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 1.5 - 1.5 - 2 = -2. \]

\[ X = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}. \]


Итог:

Проверяем, какой вариант совпадает с расчетами.
Правильный ответ: второй вариант.

Вектор-решение:
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн