Решить систему линейных уравнений методом Жордана Гаусса

Это задание относится к математике, раздел "линейная алгебра", тема "решение систем линейных уравнений". Теперь подробно решим систему уравнений методом Жордана-Гаусса. Разберем по очереди каждую из задач.

Решение для задачи 19.a):

Система уравнений:

1. \( 9x + z = 6 \)
2. \( 5x - 2y + 3z = -8 \)
3. \( 3x + y - 2z = 11 \)

Составим расширенную матрицу:

\[ \begin{bmatrix} 9 & 0 & 1 & | & 6 \\ 5 & -2 & 3 & | & -8 \\ 3 & 1 & -2 & | & 11 \end{bmatrix} \]

Шаг 1: Приведем первый элемент первой строки к единице.

Поделим первую строку на 9:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{9} & | & \frac{2}{3} \\ 5 & -2 & 3 & | & -8 \\ 3 & 1 & -2 & | & 11 \end{bmatrix} \]

Шаг 2: Обнулим элементы первого столбца в остальных строках.

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 5:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{9} & | & \frac{2}{3} \\ 0 & -2 & \frac{26}{9} & | & -\frac{34}{3} \\ 3 & 1 & -2 & | & 11 \end{bmatrix} \]

Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 3:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{9} & | & \frac{2}{3} \\ 0 & -2 & \frac{26}{9} & | & -\frac{34}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{20}{9} & | & \frac{25}{3} \end{bmatrix} \]

Шаг 3: Приведем ко второму базису.

Поделим вторую строку на -2:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{9} & | & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{13}{9} & | & \frac{17}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{20}{9} & | & \frac{25}{3} \end{bmatrix} \]

Вычтем из третьей строки вторую:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{9} & | & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{13}{9} & | & \frac{17}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{7}{9} & | & -\frac{2}{3} \end{bmatrix} \]

Шаг 4: Приведем третий элемент третьей строки к единице.

Умножим третью строку на -\frac{9}{7}:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{9} & | & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{13}{9} & | & \frac{17}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{6}{7} \end{bmatrix} \]

Шаг 5: Обратный ход (к треугольной форме).

Обнулим элементы третьего столбца в первых двух строках:

Для первой строки: вычтем из нее третью, умноженную на \(\frac{1}{9}\).

Для второй строки: вычтем из нее третью, умноженную на -\frac{13}{9}.

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{14}{21} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{299}{21} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{6}{7} \end{bmatrix} \]

Таким образом, получаем:

x = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}, y = \frac{299}{21}, z = \frac{6}{7}.

Решение для задачи 19.b):

Пользуйтесь аналогичной процедурой, чтобы решить вторую систему уравнений.

Если есть вопросы по решению второй системы, пожалуйста, дайте знать!