Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Эта задача относится к предмету "Алгебра", раздел "Системы линейных уравнений и методы их решения".

Мы будем решать систему линейных уравнений методом Крамера.

Дана система уравнений:

1. x₁ + 2x₂ - 3x₃ = 1
2. 3x₁ + 2x₂ - 4x₃ = 0
3. 2x₁ - x₂ = -1

Запишем её в матричной форме: A * X = B, где:

• A — матрица коэффициентов
• X — столбец неизвестных
• B — столбец свободных членов:

A = | 1 2 -3 | | 3 2 -4 | | 2 -1 0 |

X = | x₁ | | x₂ | | x₃ |

B = | 1 | | 0 | | -1 |

Метод Крамера требует, чтобы определитель матрицы A был ненулевым. Вычислим этот определитель (det A):

det A = 1*(2*0 - (-1)(-4)) - 2*(3*0 - (-1)(-4)) - 3*(3*(-1) - 2*2) = 1*(0 - 4) - 2*(0 - 4) - 3*(-3 - 4) = 1*(-4) - 2*(-4) - 3*(-7) = -4 + 8 + 21 = 25

Определитель матрицы A не равен нулю (det A = 25), значит система имеет единственное решение.

Для x₁ (заменяем первый столбец в A на B):

A₁ = | 1 2 -3 | | 0 2 -4 | | -1 -1 0 |

det A₁ = 1*(2*0 - (-1)(-4)) - 2*(0*0 - (-1)(-4)) - 3*(0*(-1) - 2*(-1)) = 1*(0 - 4) - 2*(0 - 4) - 3*(0 + 2) = -4 + 8 - 6 = -2

Для x₂ (заменяем второй столбец в A на B):

A₂ = | 1 1 -3 | | 3 0 -4 | | 2 -1 0 |

det A₂ = 1*(0*0 - (-1)(-4)) - 1*(3*0 - (-1)(-4)) - 3*(3*(-1) - 0*2) = 1*(0 - 4) - 1*(0 - 4) - 3*(-3) = -4 + 4 + 9 = 9

Для x₃ (заменяем третий столбец в A на B):

A₃ = | 1 2 1 | | 3 2 0 | | 2 -1 -1 |

det A₃ = 1*(2*(-1) - 0*(-1)) - 2*(3*(-1) - 0*2) + 1*(3*(-1) - 2*2) = 1*(-2) - 2*(-3) + 1*(-3 - 4) = -2 + 6 - 7 = -3

Теперь найдём значения неизвестных переменных:

• x₁ = det A₁ / det A = -2 / 25
• x₂ = det A₂ / det A = 9 / 25
• x₃ = det A₃ / det A = -3 / 25

Таким образом, решение системы уравнений:

• x₁ = -2/25
• x₂ = 9/25
• x₃ = -3/25

Теперь найдем определители матриц A₁, A₂ и A₃, заменяя соответствующие столбцы матрицы A на столбец B.