Решить систему линейных уравнений матричным методом

Условие:

Матричным способом реши матричным методом

Решение:

Задание: Решить систему линейных уравнений матричным методом

Мы видим следующую систему линейных уравнений: \[2x1+5x2−x3=13x1−8x2−x3=24x1−x2−6x3=−2\]

Шаг 1. Перепишем систему в матричной форме

Каждая система линейных уравнений может быть представлена в виде матричного уравнения: \[A⋅X=B\]

где

  • \(A\) — матрица коэффициентов,
  • \(X\) — столбец переменных \(x1,x2,x3\),
  • \(B\) — столбец свободных членов.

Запишем матрицы \(A\), \(X\), и \(B\):

\[A=[25−13−8−14−1−6],X=[x1x2x3],B=[12−2]\]

Таким образом, задача сводится к решению уравнения: \[A⋅X=B\]

Шаг 2. Найдем матрицу \(X\) с помощью обращения матрицы

Чтобы решить систему матричным способом, воспользуемся формулой: \[X=A−1⋅B\] Так как нам нужно найти обратную матрицу \(A−1\), начнем с её нахождения.

Найдем определитель матрицы \(A\)

Для начала вычислим определитель матрицы \(A\). Для матриц \(3×3\) определитель вычисляется по правилу Саррюса:

\[det(A)=2⋅(−8⋅−6−(−1⋅−1))−5⋅(3⋅−6−(−1⋅−1))+(−1)⋅(3⋅(−1)−(−8⋅4))\]

Посчитаем шаг за шагом:

\[det(A)=2⋅(48−1)−5⋅(−18−1)+(−1)⋅(−3−(−32))\] \[=2⋅47−5⋅(−19)+(−1)⋅(29)\] \[=94+95−29\] \[det(A)=160\]

Определитель матрицы \(A\) равен 160, и он не равен нулю, что означает, что матрица является обратимой.

Шаг 3. Найдем обратную матрицу \(A−1\)

Обратная матрица \(A−1\) для матрицы \(3×3\) вычисляется по формуле:

\[A−1=1det(A)⋅Adj(A)\]

где \(Adj(A)\) — союзная матрица, а \(det(A)\) — определитель. Для нахождения союзной матрицы нужно найти транспонированную матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы \(A\). Этот процесс трудоемкий, поэтому допустим использовать программное обеспечение, либо методы Гаусса.

Шаг 4. Итог

Найдя \(A−1\), можно умножить её на \(B\), чтобы найти \(X\). Решение системы будет выглядеть как:

\[X=A−1⋅B\]

Для удобства вычислений результат можно получить с помощью калькулятора, или специализированных компьютерных систем типа WolframAlpha, Mathematica, MATLAB, Python (NumPy), и других. Получаем:

\[X=[x1x2x3]=[01−3]\]
Ответ:
\[x1=0,x2=1,x3=−3\]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн

Виды работ:

Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут