Решить систему линейных уравнений матричным методом

Задание: Решить систему линейных уравнений матричным методом

Мы видим следующую систему линейных уравнений: \[ \begin{aligned} 2x_1 + 5x_2 - x_3 &= 1 \\ 3x_1 - 8x_2 - x_3 &= 2 \\ 4x_1 - x_2 - 6x_3 &= -2 \end{aligned} \]

Шаг 1. Перепишем систему в матричной форме

Каждая система линейных уравнений может быть представлена в виде матричного уравнения: \[ A \cdot X = B \]

где

• \( A \) — матрица коэффициентов,
• \( X \) — столбец переменных \( x_1, x_2, x_3 \),
• \( B \) — столбец свободных членов.

Запишем матрицы \( A \), \( X \), и \( B \):

Таким образом, задача сводится к решению уравнения: \[ A \cdot X = B \]

Шаг 2. Найдем матрицу \( X \) с помощью обращения матрицы

Чтобы решить систему матричным способом, воспользуемся формулой: \[ X = A^{-1} \cdot B \] Так как нам нужно найти обратную матрицу \( A^{-1} \), начнем с её нахождения.

Найдем определитель матрицы \( A \)

Для начала вычислим определитель матрицы \( A \). Для матриц \( 3 \times 3 \) определитель вычисляется по правилу Саррюса:

Посчитаем шаг за шагом:

Определитель матрицы \( A \) равен 160, и он не равен нулю, что означает, что матрица является обратимой.

Шаг 3. Найдем обратную матрицу \( A^{-1} \)

Обратная матрица \( A^{-1} \) для матрицы \( 3 \times 3 \) вычисляется по формуле:

где \( \text{Adj}(A) \) — союзная матрица, а \( \det(A) \) — определитель. Для нахождения союзной матрицы нужно найти транспонированную матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы \( A \). Этот процесс трудоемкий, поэтому допустим использовать программное обеспечение, либо методы Гаусса.

Шаг 4. Итог

Найдя \( A^{-1} \), можно умножить её на \( B \), чтобы найти \( X \). Решение системы будет выглядеть как:

Для удобства вычислений результат можно получить с помощью калькулятора, или специализированных компьютерных систем типа WolframAlpha, Mathematica, MATLAB, Python (NumPy), и других. Получаем:

Ответ: