Решить систему линейных уравнений используя формулы Крамера

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Рассмотрим задачу 7. Система линейных уравнений имеет вид:

 \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1, \ 8x_1 + 3x_2 - 6x_3 = 2, \ 4x_1 + x_2 - 3x_3 = 3. \end{cases} 

Метод Крамера предполагает использование определителей для нахождения решений. Пусть система имеет вид:

 A \cdot X = B, 

где:

• A — матрица коэффициентов,
• X = \begin{bmatrix}x_1 \ x_2 \ x_3\end{bmatrix} — вектор неизвестных,
• B = \begin{bmatrix}1 \ 2 \ 3\end{bmatrix} — вектор свободных членов.

Шаг 1. Найдем определитель матрицы A:

 A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \ 8 & 3 & -6 \ 4 & 1 & -3 \end{bmatrix}. 

Определитель матрицы A вычисляется по правилу Саррюса:

 \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \ 8 & 3 & -6 \ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (3 \cdot (-3) - 1 \cdot (-6)) - 1 \cdot (8 \cdot (-3) - 4 \cdot (-6)) + (-1) \cdot (8 \cdot 1 - 4 \cdot 3). 

Выполним вычисления:

 \text{det}(A) = 1 \cdot (-9 + 6) - 1 \cdot (-24 + 24) - 1 \cdot (8 - 12) = -3 - 0 + 4 = 1. 

Итак, \text{det}(A) = 1.

Шаг 2. Найдем x_1, x_2, x_3 по формулам Крамера.

Формула Крамера:

 x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)},  где A_i — матрица, полученная заменой i-го столбца матрицы A на столбец B.

Найдем x_1:

Заменяем первый столбец матрицы A на B:

 A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \ 2 & 3 & -6 \ 3 & 1 & -3 \end{bmatrix}. 

Определитель \text{det}(A_1):

 \text{det}(A_1) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \ 2 & 3 & -6 \ 3 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (3 \cdot (-3) - 1 \cdot (-6)) - 1 \cdot (2 \cdot (-3) - 3 \cdot (-6)) + (-1) \cdot (2 \cdot 1 - 3 \cdot 3). 

Выполним вычисления:

 \text{det}(A_1) = 1 \cdot (-9 + 6) - 1 \cdot (-6 + 18) - 1 \cdot (2 - 9) = -3 - 12 + 7 = -8. 

Тогда:

 x_1 = \frac{\text{det}(A_1)}{\text{det}(A)} = \frac{-8}{1} = -8. 

Найдем x_2:

Заменяем второй столбец матрицы A на B:

 A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \ 8 & 2 & -6 \ 4 & 3 & -3 \end{bmatrix}. 

Определитель \text{det}(A_2):

 \text{det}(A_2) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \ 8 & 2 & -6 \ 4 & 3 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot (-3) - 3 \cdot (-6)) - 1 \cdot (8 \cdot (-3) - 4 \cdot (-6)) + (-1) \cdot (8 \cdot 3 - 4 \cdot 2). 

Выполним вычисления:

 \text{det}(A_2) = 1 \cdot (-6 + 18) - 1 \cdot (-24 + 24) - 1 \cdot (24 - 8) = 12 - 0 - 16 = -4. 

Тогда:

 x_2 = \frac{\text{det}(A_2)}{\text{det}(A)} = \frac{-4}{1} = -4. 

Найдем x_3:

Заменяем третий столбец матрицы A на B:

 A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 8 & 3 & 2 \ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}. 

Определитель \text{det}(A_3):

 \text{det}(A_3) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 8 & 3 & 2 \ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (3 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - 1 \cdot (8 \cdot 3 - 4 \cdot 2) + 1 \cdot (8 \cdot 1 - 4 \cdot 3). 

Выполним вычисления:

 \text{det}(A_3) = 1 \cdot (9 - 2) - 1 \cdot (24 - 8) + 1 \cdot (8 - 12) = 7 - 16 - 4 = -13. 

Тогда:

 x_3 = \frac{\text{det}(A_3)}{\text{det}(A)} = \frac{-13}{1} = -13. 

Ответ:

 x_1 = -8, \, x_2 = -4, \, x_3 = -13.