Решить систему линейных однородных уравнений

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Системы линейных уравнений

Дана система линейных однородных уравнений:

 \begin{cases} 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 0, \ 2x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 0, \ x_1 + x_2 + x_3 = 0. \end{cases} 

Решим систему методом приведения к ступенчатому виду (метод Гаусса).

1. Запишем систему в матричной форме:

Коэффициентная матрица системы:

 A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \ 2 & 3 & -5 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} 

Аугментированная матрица (для однородной системы правый столбец нулевой):

 \left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 2 & 0 \ 2 & 3 & -5 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] 

2. Приведение к ступенчатому виду

1. Разделим первый столбец, чтобы сделать ведущий элемент в первой строке равным 1. Для этого поменяем местами первую и третью строки:

 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \ 2 & 3 & -5 & 0 \ 3 & -1 & 2 & 0 \end{array} \right] 

2. Обнулим элементы ниже первого ведущего элемента. Для этого:
   • Вычтем из второй строки удвоенную первую строку.
   • Вычтем из третьей строки утроенную первую строку.

Получаем:

 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & -7 & 0 \ 0 & -4 & -1 & 0 \end{array} \right] 

3. Сделаем второй ведущий элемент равным 1 (он уже равен 1). Обнулим элементы ниже и выше него:
   • Прибавим к третьей строке 4-ю вторую строку.
   • Вычтем из первой строки вторую строку.

Получаем:

 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 8 & 0 \ 0 & 1 & -7 & 0 \ 0 & 0 & -29 & 0 \end{array} \right] 

4. Сделаем последний ведущий элемент равным 1, разделив третью строку на -29:

 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 8 & 0 \ 0 & 1 & -7 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] 

5. Обнулим элементы выше третьего ведущего элемента, прибавив к первой строке 8-ю третью строку и ко второй строке 7-ю третью строку:

 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] 

3. Запись решения

Полученная система:

 \begin{cases} x_1 = 0, \ x_2 = 0, \ x_3 = 0. \end{cases} 

Таким образом, система имеет тривиальное решение (x_1, x_2, x_3) = (0,0,0).
Так как ранг матрицы равен числу переменных, нет нетривиальных решений.