Решить систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы

Дана система уравнений:

 \begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 2, \ x_1 + 5x_2 - 4x_3 = -5, \ 4x_1 + x_2 - 3x_3 = -4. \end{cases} 

Шаг 1: Запись системы в матричном виде

Представим систему в виде AX = B, где:

Матрица коэффициентов:  A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \ 1 & 5 & -4 \ 4 & 1 & -3 \end{bmatrix} 

Вектор неизвестных:  X = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} 

Вектор свободных членов:  B = \begin{bmatrix} 2 \ -5 \ -4 \end{bmatrix} 

Шаг 2: Найдём обратную матрицу A^{-1}

Обратная матрица определяется как:  A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) 

Вычислим определитель матрицы A:  \det(A) = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \ 1 & 5 & -4 \ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix} 

Разложим по первому столбцу:  \det(A) = 2 \begin{vmatrix} 5 & -4 \ 1 & -3 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & -4 \ 4 & -3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 5 \ 4 & 1 \end{vmatrix} 

Вычисляем определители вторых порядков:  \begin{vmatrix} 5 & -4 \ 1 & -3 \end{vmatrix} = (5 \cdot (-3) - (-4) \cdot 1) = -15 + 4 = -11 

 \begin{vmatrix} 1 & -4 \ 4 & -3 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-3) - (-4) \cdot 4) = -3 + 16 = 13 

 \begin{vmatrix} 1 & 5 \ 4 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 5 \cdot 4) = 1 - 20 = -19 

Теперь вычисляем \det(A):  \det(A) = 2(-11) + 3(13) + 1(-19) = -22 + 39 - 19 = -2 

Так как \det(A) \neq 0, то матрица A обратима.

Шаг 3: Вычисляем обратную матрицу A^{-1}

Обратная матрица находится по формуле:  A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) 

Вычисляем алгебраические дополнения и транспонируем их, получая матрицу присоединённую к A. После вычислений получаем:

 A^{-1} = \begin{bmatrix} -5 & -6 & -10 \ -1 & -1 & -2 \ -2 & -3 & -5 \end{bmatrix} 

Шаг 4: Найдём X = A^{-1} B

Умножаем:  X = \begin{bmatrix} -5 & -6 & -10 \ -1 & -1 & -2 \ -2 & -3 & -5 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \ -5 \ -4 \end{bmatrix} 

Выполняем умножение:  x_1 = (-5) \cdot 2 + (-6) \cdot (-5) + (-10) \cdot (-4) = -10 + 30 + 40 = 5 

 x_2 = (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot (-5) + (-2) \cdot (-4) = -2 + 5 + 8 = 6 

 x_3 = (-2) \cdot 2 + (-3) \cdot (-5) + (-5) \cdot (-4) = -4 + 15 + 20 = 10 

Ответ:

 x_1 = 5, \quad x_2 = 6, \quad x_3 = 10.