Решить систему линейных алгебраических уравнений методом гаусса

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных уравнений (Метод Гаусса)

Рассмотрим систему линейных уравнений:

 \begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 2 \ x_1 + 5x_2 - 4x_3 = -5 \ 4x_1 + x_2 - 3x_3 = -4 \end{cases} 

Шаг 1: Запись системы в виде расширенной матрицы

Запишем коэффициенты системы в виде расширенной матрицы:

 \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 & | 2 \ 1 & 5 & -4 & | -5 \ 4 & 1 & -3 & | -4 \end{bmatrix} 

Шаг 2: Приведение к треугольному виду (прямой ход метода Гаусса)

1. Приведем первый столбец к ступенчатому виду
   Разделим первую строку на 2 (чтобы получить ведущий коэффициент 1):

    \begin{bmatrix} 1 & -1.5 & 0.5 & | 1 \ 1 & 5 & -4 & | -5 \ 4 & 1 & -3 & | -4 \end{bmatrix} 

   Вычтем первую строку из второй и третьей:

    \begin{bmatrix} 1 & -1.5 & 0.5 & | 1 \ 0 & 6.5 & -4.5 & | -6 \ 0 & 7 & -5 & | -8 \end{bmatrix} 

2. Приведем второй столбец к ступенчатому виду
   Разделим вторую строку на 6.5:

    \begin{bmatrix} 1 & -1.5 & 0.5 & | 1 \ 0 & 1 & -\frac{9}{13} & | -\frac{12}{13} \ 0 & 7 & -5 & | -8 \end{bmatrix} 

   Вычтем 7-кратную вторую строку из третьей:

    \begin{bmatrix} 1 & -1.5 & 0.5 & | 1 \ 0 & 1 & -\frac{9}{13} & | -\frac{12}{13} \ 0 & 0 & -\frac{8}{13} & | -\frac{10}{13} \end{bmatrix} 

3. Приведем третий столбец к ступенчатому виду
   Разделим третью строку на (-\frac{8}{13}):

    \begin{bmatrix} 1 & -1.5 & 0.5 & | 1 \ 0 & 1 & -\frac{9}{13} & | -\frac{12}{13} \ 0 & 0 & 1 & | 10 \end{bmatrix} 

Шаг 3: Обратный ход метода Гаусса (обратное подставление)

1. Из третьего уравнения:
   x_3 = 10

2. Подставляем в второе уравнение:
   x_2 - \frac{9}{13} \cdot 10 = -\frac{12}{13}
   x_2 - \frac{90}{13} = -\frac{12}{13}
   x_2 = 6

3. Подставляем в первое уравнение:
   x_1 - 1.5 \cdot 6 + 0.5 \cdot 10 = 1
   x_1 - 9 + 5 = 1
   x_1 = 5

Ответ:

x_1 = 5, \quad x_2 = 6, \quad x_3 = 10