Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Системы линейных уравнений

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений:

 \begin{cases} 4x_1 + x_2 + 4x_3 = 0, \ 3x_1 - 2x_2 - x_3 = 0, \ 7x_1 - x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases} 

1. Запись системы в матричном виде

Эта система может быть представлена в виде матричного уравнения:

 A \mathbf{x} = 0, 

где
матрица коэффициентов:

 A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 4 \ 3 & -2 & -1 \ 7 & -1 & 3 \end{bmatrix} 

вектор неизвестных:

 \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} 

и нулевой вектор:

 \mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}. 

2. Определение ранга матрицы

Рассмотрим расширенную матрицу системы (которая в данном случае совпадает с матрицей коэффициентов, так как система однородная):

 \begin{bmatrix} 4 & 1 & 4 \ 3 & -2 & -1 \ 7 & -1 & 3 \end{bmatrix}. 

Применим элементарные преобразования для приведения к ступенчатому виду:

1. Оставляем первую строку без изменений.
2. Обнуляем первый элемент во второй строке, вычитая \frac{3}{4} от первой строки.
3. Обнуляем первый элемент в третьей строке, вычитая \frac{7}{4} от первой строки.

После преобразований получаем:

 \begin{bmatrix} 4 & 1 & 4 \ 0 & -\frac{11}{4} & -\frac{13}{4} \ 0 & -\frac{11}{4} & -\frac{7}{4} \end{bmatrix}. 

Вычтем вторую строку из третьей:

 \begin{bmatrix} 4 & 1 & 4 \ 0 & -\frac{11}{4} & -\frac{13}{4} \ 0 & 0 & \frac{6}{4} \end{bmatrix}. 

Так как ранг матрицы A равен 3, а количество переменных также 3, то единственное решение системы — нулевое:

 x_1 = x_2 = x_3 = 0. 

3. Вывод

Так как система однородная и ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то она имеет тривиальное решение (0,0,0), и других решений нет.