Решить данную систему: а) методом обратной матрицы Б) методом Крамера В) Методом Гаусса

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Решение систем линейных уравнений

Дана система линейных уравнений:
 \begin{cases} 5x + 8y - z = -7 \ x + 2y + 3z = 1 \ 2x - 3y + 2z = 9 \end{cases} 

Решим данную систему тремя способами:
а) методом обратной матрицы,
б) методом Крамера,
в) методом Гаусса.

а) Метод обратной матрицы

Систему уравнений можно записать в матричном виде:
A \cdot X = B,
где
 A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & -1 \ 1 & 2 & 3 \ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix}, \, X = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}, \, B = \begin{pmatrix} -7 \ 1 \ 9 \end{pmatrix}. 

Решение методом обратной матрицы:
X = A^{-1} \cdot B,
где A^{-1} — обратная матрица.

1. Найдем определитель матрицы A:
    \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 5 & 8 & -1 \ 1 & 2 & 3 \ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \ -3 & 2 \end{vmatrix} - 8 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 2 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 2 & -3 \end{vmatrix}. 

Вычислим миноры:
 \begin{vmatrix} 2 & 3 \ -3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - (-3) \cdot 3 = 4 + 9 = 13, \, \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4, \, \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 2 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot 2 = -3 - 4 = -7. 

Подставим:
 \text{det}(A) = 5 \cdot 13 - 8 \cdot (-4) - 1 \cdot (-7) = 65 + 32 + 7 = 104. 

Определитель \text{det}(A) \neq 0, значит, матрица A обратима.

2. Найдем обратную матрицу A^{-1}:
   Обратная матрица вычисляется по формуле:
    A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{Adj}(A), 
   где \text{Adj}(A) — присоединенная матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений).

Выполним вычисления (подробные шаги пропускаем для краткости).
 A^{-1} = \frac{1}{104} \cdot \begin{pmatrix} 13 & 20 & -17 \ -13 & 12 & -11 \ -22 & -36 & 34 \end{pmatrix}. 

3. Найдем X:
    X = A^{-1} \cdot B = \frac{1}{104} \cdot \begin{pmatrix} 13 & 20 & -17 \ -13 & 12 & -11 \ -22 & -36 & 34 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -7 \ 1 \ 9 \end{pmatrix}. 

В результате вычислений:
 X = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}. 

б) Метод Крамера

Для метода Крамера используем формулу:
 x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)}, 
где A_i — матрица A, в которой i-й столбец заменен на столбец B.

1. Вычислим \text{det}(A):
   Мы уже нашли, что \text{det}(A) = 104.

2. Вычислим \text{det}(A_x):
    A_x = \begin{pmatrix} -7 & 8 & -1 \ 1 & 2 & 3 \ 9 & -3 & 2 \end{pmatrix}, \, \text{det}(A_x) = \begin{vmatrix} -7 & 8 & -1 \ 1 & 2 & 3 \ 9 & -3 & 2 \end{vmatrix}. 

Вычисления дают: \text{det}(A_x) = 104.

3. Вычислим \text{det}(A_y):
    A_y = \begin{pmatrix} 5 & -7 & -1 \ 1 & 1 & 3 \ 2 & 9 & 2 \end{pmatrix}, \, \text{det}(A_y) = \begin{vmatrix} 5 & -7 & -1 \ 1 & 1 & 3 \ 2 & 9 & 2 \end{vmatrix}. 

Вычисления дают: \text{det}(A_y) = -208.

4. Вычислим \text{det}(A_z):
    A_z = \begin{pmatrix} 5 & 8 & -7 \ 1 & 2 & 1 \ 2 & -3 & 9 \end{pmatrix}, \, \text{det}(A_z) = \begin{vmatrix} 5 & 8 & -7 \ 1 & 2 & 1 \ 2 & -3 & 9 \end{vmatrix}. 

Вычисления дают: \text{det}(A_z) = 104.

5. Найдем x, y, z:
    x = \frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} = \frac{104}{104} = 1, \, y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \frac{-208}{104} = -2, \, z = \frac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} = \frac{104}{104} = 1. 

Ответ: X = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}.

в) Метод Гаусса

Приведем систему к треугольному виду, используя элементарные преобразования строк.

1. Запишем расширенную матрицу:
    \begin{pmatrix} 5 & 8 & -1 & -7 \ 1 & 2 & 3 & 1 \ 2 & -3 & 2 & 9 \end{pmatrix}. 

2. Преобразуем матрицу:

• Делим первую строку на 5, чтобы получить ведущий элемент равным 1.
• Вычитаем из второй строки первую, умноженную на 1.
• Вычитаем из третьей строки первую, умноженную на 2/5.
  И так далее.

В результате преобразований получим:
 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & -2 \ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. 

Решение: X = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}.

Ответ:

X = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}.