Решение задач тремя методами

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Решение систем линейных уравнений

Дана система линейных уравнений:
 \begin{cases} - x_1 + 2x_2 + x_3 = 3, \ 2x_1 - 5x_2 - x_3 = -3, \ x_1 + 2x_2 - x_3 = -7. \end{cases} 

Решим систему тремя методами:

1. С использованием обратной матрицы
2. По формулам Крамера
3. Методом Гаусса-Жордана

1. Решение с использованием обратной матрицы

Запишем систему в матричном виде:
 AX = B, 
где
 A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \ 2 & -5 & -1 \ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 \ -3 \ -7 \end{bmatrix}. 

Решение находится по формуле:
 X = A^{-1} B. 

Найдем обратную матрицу A^{-1} и вычислим X.

2. Решение по формулам Крамера

Метод Крамера применяется, если определитель матрицы A ненулевой.
Определитель матрицы A:
 \Delta = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \ 2 & -5 & -1 \ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}. 

Затем вычислим определители \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, подставляя B вместо соответствующих столбцов.
Решение находится по формулам:
 x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta}, \quad x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta}, \quad x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta}. 

3. Решение методом Гаусса-Жордана

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду и затем к единичной матрице.

 \left[ \begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 1 & 3 \ 2 & -5 & -1 & -3 \ 1 & 2 & -1 & -7 \end{array} \right] 

Применяем элементарные преобразования строк для приведения левой части к единичной матрице, после чего правая часть даст решение системы.

Выполним вычисления для всех трех методов и найдем x_1, x_2, x_3.