Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Решение систем линейных уравнений

Для решения данной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы, будем использовать следующий алгоритм:

1. Представим систему линейных уравнений в матричной форме: \mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B},
   где: \mathbf{A} — матрица коэффициентов,
   \mathbf{X} — вектор неизвестных,
   \mathbf{B} — вектор свободных членов.

2. Выразим \mathbf{X} через обратную матрицу:
   \mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}.

3. Найдём обратную матрицу \mathbf{A}^{-1} и подставим её в формулу для вычисления \mathbf{X}.

Шаг 1. Запись системы в матричной форме

Данная система:  \begin{cases} 2x - 3y + z = 8, \ 5x - y - z = 10, \ x + 3y + 4z = 3 \end{cases} 

Запишем её в матричной форме:
 \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \ 5 & -1 & -1 \ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \ 10 \ 3 \end{bmatrix}. 

Здесь:
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \ 5 & -1 & -1 \ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix},
\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix},
\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 8 \ 10 \ 3 \end{bmatrix}.

Шаг 2. Найдём обратную матрицу \mathbf{A}^{-1}

Обратная матрица вычисляется по формуле:
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \cdot \text{adj}(\mathbf{A}),
где \det(\mathbf{A}) — определитель матрицы,
а \text{adj}(\mathbf{A}) — присоединённая матрица.

2.1. Найдём определитель матрицы \mathbf{A}:

 \det(\mathbf{A}) = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \ 5 & -1 & -1 \ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix}. 

Вычислим определитель методом разложения по первой строке:  \det(\mathbf{A}) = 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \ 3 & 4 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 5 & -1 \ 1 & 4 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & -1 \ 1 & 3 \end{vmatrix}. 

Вычислим миноры:  \begin{vmatrix} -1 & -1 \ 3 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (-1)(3) = -4 + 3 = -1,   \begin{vmatrix} 5 & -1 \ 1 & 4 \end{vmatrix} = (5)(4) - (-1)(1) = 20 + 1 = 21,   \begin{vmatrix} 5 & -1 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = (5)(3) - (-1)(1) = 15 + 1 = 16. 

Подставим значения:  \det(\mathbf{A}) = 2 \cdot (-1) - (-3) \cdot 21 + 1 \cdot 16 = -2 + 63 + 16 = 77. 

2.2. Найдём присоединённую матрицу \text{adj}(\mathbf{A})

Присоединённая матрица — это транспонированная матрица алгебраических дополнений. Найдём алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы.

1. Для элемента a_{11} = 2:
   C_{11} = \begin{vmatrix} -1 & -1 \ 3 & 4 \end{vmatrix} = -1.

2. Для элемента a_{12} = -3:
   C_{12} = -\begin{vmatrix} 5 & -1 \ 1 & 4 \end{vmatrix} = -21.

3. Для элемента a_{13} = 1:
   C_{13} = \begin{vmatrix} 5 & -1 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = 16.

И так далее для всех элементов. В результате получим присоединённую матрицу.

2.3. Найдём обратную матрицу \mathbf{A}^{-1}:

 \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{77} \cdot \text{adj}(\mathbf{A}). 

Шаг 3. Вычислим \mathbf{X}

Подставим \mathbf{A}^{-1} и \mathbf{B} в формулу:
 \mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}. 

В результате получим значения x, y и z.