Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее методом гаусса

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Системы линейных уравнений, метод Гаусса

Дана система уравнений:

 \begin{cases} x_1 + 4x_2 - x_3 = 6, \ 5x_2 + 4x_3 = -20, \ 3x_1 - 2x_2 + 5x_3 = -22. \end{cases} 

1. Проверка совместности системы

Для проверки совместности системы используем метод Гаусса, приводя её к ступенчатому виду.

Запишем расширенную матрицу системы:

 \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | 6 \ 0 & 5 & 4 & | -20 \ 3 & -2 & 5 & | -22 \end{bmatrix} 

Применим элементарные преобразования строк:

1. Обнулим элемент a_{31} (то есть 3 в первой колонке) с помощью первой строки:

   Вычтем из третьей строки утроенную первую строку:

    R_3 \to R_3 - 3R_1 

   Получаем:

    \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | 6 \ 0 & 5 & 4 & | -20 \ 0 & -14 & 8 & | -40 \end{bmatrix} 

2. Нормализуем второй столбец. Разделим вторую строку на 5:

    R_2 \to \frac{1}{5} R_2 

    \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | 6 \ 0 & 1 & \frac{4}{5} & | -4 \ 0 & -14 & 8 & | -40 \end{bmatrix} 

3. Обнулим элемент a_{32} (то есть -14) с помощью второй строки:

    R_3 \to R_3 + 14 R_2 

    \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | 6 \ 0 & 1 & \frac{4}{5} & | -4 \ 0 & 0 & \frac{24}{5} & | -96 \end{bmatrix} 

4. Нормализуем третий столбец. Умножим третью строку на \frac{5}{24}:

    R_3 \to \frac{5}{24} R_3 

    \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | 6 \ 0 & 1 & \frac{4}{5} & | -4 \ 0 & 0 & 1 & | -20 \end{bmatrix} 

2. Обратный ход метода Гаусса

Подставляем x_3 = -20 во второе уравнение:

 x_2 + \frac{4}{5}(-20) = -4 

 x_2 - 16 = -4 

 x_2 = 12 

Подставляем x_2 = 12 и x_3 = -20 в первое уравнение:

 x_1 + 4(12) - (-20) = 6 

 x_1 + 48 + 20 = 6 

 x_1 = 6 - 68 = -62 

3. Ответ

Система совместна, её решение:

 x_1 = -62, \quad x_2 = 12, \quad x_3 = -20.