Определить обратную матрицу основной матрицы системы

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и обратные матрицы

Условие

Требуется определить обратную матрицу основной матрицы системы.

Дано СЛАУ:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3, \\ -x_1 + x_3 = -1, \\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 2. \end{cases} \]

Основная матрица системы:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}. \]

Требуется найти обратную матрицу \(A^{-1}\) и выбрать её из предложенных вариантов.

---

Решение

Шаг 1. Проверка обратимости матрицы \(A\)

Для нахождения обратной матрицы необходимо убедиться, что определитель матрицы \(A\) не равен нулю.

Посчитаем детерминант матрицы \(A\):

\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}. \]

Вычислим каждый минор:

1. \(\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (0)(-1) - (1)(1) = -1\),
2. \(\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (1)(2) = 1 - 2 = -1\),
3. \(\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1) - (0)(2) = -1\).

Подставим значения:

\[ \det(A) = 1(-1) - 2(-1) + 3(-1) = -1 + 2 - 3 = -2. \]

Определитель не равен нулю (\(\det(A) \neq 0\)), значит, матрица \(A\) обратима.

---

Шаг 2. Формула нахождения обратной матрицы

Обратная матрица находится по формуле:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A), \]

где \(\text{adj}(A)\) — присоединённая матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений).

---

Шаг 3. Вычисление алгебраических дополнений

Для вычисления дополнений матрицы \(A\):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \]

рассмотрим миноры для каждого элемента.

1. Алгебраические дополнения первой строки:

• \(A_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1, \quad C_{11} = (-1)^{1+1}(-1) = -1;\)
• \(A_{12} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1, \quad C_{12} = (-1)^{1+2}(-1) = 1;\)
• \(A_{13} = \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad C_{13} = (-1)^{1+3}(-1) = -1.\)

2. Алгебраические дополнения второй строки:

• \(A_{21} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -5, \quad C_{21} = (-1)^{2+1}(-5) = 5;\)
• \(A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -7, \quad C_{22} = (-1)^{2+2}(-7) = -7;\)
• \(A_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3, \quad C_{23} = (-1)^{2+3}(-3) = 3.\)

3. Алгебраические дополнения третьей строки:

• \(A_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2, \quad C_{31} = (-1)^{3+1}(2) = 2;\)
• \(A_{32} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4, \quad C_{32} = (-1)^{3+2}(4) = -4;\)
• \(A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2, \quad C_{33} = (-1)^{3+3}(2) = 2.\)

---

Шаг 4. Присоединённая матрица

Матрица из алгебраических дополнений:

\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 5 & -7 & 3 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}. \]

Транспонированная матрица (перестановка строк и столбцов):

\[ \text{adj}(A)^T = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 2 \\ 1 & -7 & -4 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}. \]

---

Шаг 5. Обратная матрица

Найдем \(A^{-1}\):

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)^T = \frac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 5 & 2 \\ 1 & -7 & -4 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & -2.5 & -1 \\ -0.5 & 3.5 & 2 \\ 0.5 & -1.5 & -1 \end{pmatrix}. \]

---

Шаг 6. Сопоставление с вариантами ответа

Обратная матрица совпадает с первым вариантом:

\[ \begin{pmatrix} 0.5 & -2.5 & -1 \\ -0.5 & 3.5 & 2 \\ 0.5 & -1.5 & -1 \end{pmatrix}. \]

Не предоставлено текста для преобразования. Пожалуйста, предоставьте текст, чтобы я мог выполнить задачу!