Определить количество решений данной системы линейных уравнений

Предмет: Алгебра

Раздел: Системы линейных уравнений

Нам необходимо определить количество решений данной системы линейных уравнений:

 \begin{cases} 4x_1 - x_2 - 2x_3 = 0, \ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 0, \ 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0. \end{cases} 

Для этого используем метод Гаусса, чтобы найти ранги матрицы системы и расширенной матрицы.

Шаг 1. Запишем матрицу системы

Коэффициентная матрица:  A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \ 3 & -1 & 2 \ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}. 

Расширенная матрица (с учетом столбца свободных членов, равных нулю):  \tilde{A} = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 & 0 \ 3 & -1 & 2 & 0 \ 2 & -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}. 

Шаг 2. Приведение матрицы к ступенчатому виду

Применяем элементарные преобразования строк.

1. Оставляем первую строку без изменений.

2. Вычтем из второй строки первую, умноженную на \frac{3}{4}:  R_2 \to R_2 - \frac{3}{4}R_1. 

   Результат:  \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \ 0 & -\frac{1}{4} & \frac{11}{4} \ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}. 

3. Вычтем из третьей строки первую, умноженную на \frac{1}{2}:  R_3 \to R_3 - \frac{1}{2}R_1. 

   Результат:  \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \ 0 & -\frac{1}{4} & \frac{11}{4} \ 0 & -\frac{5}{2} & 2 \end{pmatrix}. 

4. Преобразуем вторую строку, чтобы первый элемент стал равен 1:  R_2 \to -4R_2. 

   Результат:  \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \ 0 & 1 & -11 \ 0 & -\frac{5}{2} & 2 \end{pmatrix}. 

5. Устраняем элемент -\frac{5}{2} в третьей строке:  R_3 \to R_3 + \frac{5}{2}R_2. 

   Результат:  \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \ 0 & 1 & -11 \ 0 & 0 & -51 \end{pmatrix}. 

Шаг 3. Определение ранга

Ранг матрицы A равен числу ненулевых строк в приведенной матрице. Здесь все три строки ненулевые, следовательно, \text{rank}(A) = 3.

Ранг расширенной матрицы \tilde{A} также равен 3, так как последний столбец состоит из нулей и не влияет на ранг.

Шаг 4. Число решений

По теореме Кронекера-Капелли, если \text{rank}(A) = \text{rank}(\tilde{A}), то система совместна. Число решений определяется как n - \text{rank}(A), где n — число переменных.

В данной системе:

• n = 3,
• \text{rank}(A) = 3.

Таким образом, n - \text{rank}(A) = 3 - 3 = 0.

Система имеет единственное решение.

Ответ:

2) Одно.