Определить количество решений

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений:

 \begin{cases} 4x_1 - x_2 - 2x_3 = 0, \ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 0, \ 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0. \end{cases} 

1. Запишем коэффициентную матрицу системы:

 A = \begin{bmatrix} 4 & -1 & -2 \ 3 & -1 & 2 \ 2 & -3 & 1 \end{bmatrix} 

2. Найдем ранг матрицы A

Выполним преобразования для приведения матрицы к ступенчатому виду.

1. Вычтем из второй строки первую, умноженную на \frac{3}{4}:  \begin{bmatrix} 4 & -1 & -2 \ 0 & -\frac{1}{4} & \frac{11}{2} \ 2 & -3 & 1 \end{bmatrix} 

2. Вычтем из третьей строки первую, умноженную на \frac{1}{2}:  \begin{bmatrix} 4 & -1 & -2 \ 0 & -\frac{1}{4} & \frac{11}{2} \ 0 & -\frac{5}{2} & 2 \end{bmatrix} 

3. Умножим вторую строку на -4:  \begin{bmatrix} 4 & -1 & -2 \ 0 & 1 & -22 \ 0 & -\frac{5}{2} & 2 \end{bmatrix} 

4. Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на \frac{5}{2}:  \begin{bmatrix} 4 & -1 & -2 \ 0 & 1 & -22 \ 0 & 0 & -9 \end{bmatrix} 

Ранг матрицы A равен 3.

3. Определяем количество решений

Число переменных также равно 3. Так как ранг матрицы A равен числу переменных, то система имеет единственное решение.

Ответ:
2) Одно решение.