найти x_1

Предмет: Математика
Раздел: Линейная алгебра (Системы линейных уравнений)

Дана система линейных уравнений:

 \begin{cases} 2x_1 + 7x_2 - x_3 = 10, \ x_1 + 2x_2 + x_3 = 2, \ 3x_1 - 5x_2 + 3x_3 = -5. \end{cases} 

Необходимо найти x_1.

Решим систему методом Гаусса:

1. Запишем систему в матричной форме:

 \begin{bmatrix} 2 & 7 & -1 & | 10 \ 1 & 2 & 1 & | 2 \ 3 & -5 & 3 & | -5 \end{bmatrix} 

2. Приведем матрицу к треугольному виду.
   • Обнулим первый элемент второго уравнения:
     Вычтем первую строку, умноженную на \frac{1}{2}, из второй строки:

 \begin{bmatrix} 2 & 7 & -1 & | 10 \ 0 & -1.5 & 1.5 & | -3 \ 3 & -5 & 3 & | -5 \end{bmatrix} 

• Обнулим первый элемент третьего уравнения:
  Вычтем первую строку, умноженную на \frac{3}{2}, из третьей строки:

 \begin{bmatrix} 2 & 7 & -1 & | 10 \ 0 & -1.5 & 1.5 & | -3 \ 0 & -15.5 & 4.5 & | -20 \end{bmatrix} 

3. Приведем ко второму шагу метода Гаусса:
   • Нормализуем второй элемент второго уравнения, разделив на -1.5:

 \begin{bmatrix} 2 & 7 & -1 & | 10 \ 0 & 1 & -1 & | 2 \ 0 & -15.5 & 4.5 & | -20 \end{bmatrix} 

• Обнулим второй элемент третьего уравнения:
  Прибавим ко второй строке третью строку, умноженную на 15.5:

 \begin{bmatrix} 2 & 7 & -1 & | 10 \ 0 & 1 & -1 & | 2 \ 0 & 0 & -11 & | 11 \end{bmatrix} 

4. Выразим x_3:
   x_3 = -1.

5. Найдем x_2:
   x_2 - (-1) = 2 \Rightarrow x_2 = 1.

6. Найдем x_1:
   2x_1 + 7(1) - (-1) = 10,
   2x_1 + 7 + 1 = 10,
   2x_1 = 2,
   x_1 = 1.

Ответ: x_1 = 1.