Найти такие значения параметров A и B, при которых система имеет бесчисленное множество решений, и найти эти решения

Предмет: Математика
Раздел: Линейная алгебра — Системы линейных уравнений

Условие задачи:

Рассмотрим систему линейных уравнений:

1. x + z = 4
2. 7x + 5y - 3z = B
3. 8x + 5y + A z = -3

Найти такие значения параметров A и B, при которых система имеет бесчисленное множество решений, и найти эти решения.

Шаг 1: Запишем систему в матричной форме

Система уравнений:

 \begin{cases} x + 0y + z = 4 \ 7x + 5y -3z = B \ 8x + 5y + Az = -3 \end{cases} 

Шаг 2: Приведем систему к ступенчатому виду (метод Гаусса)

Запишем расширенную матрицу:

 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 4 \ 7 & 5 & -3 & | & B \ 8 & 5 & A & | & -3 \end{bmatrix} 

Шаг 3: Прямой ход метода Гаусса

Обнуляем под первым элементом в первом столбце:

• Из второй строки вычтем 7 × (первая строка):

 R_2 = R_2 - 7R_1: [7\ 5\ -3\ |\ B] - 7*[1\ 0\ 1\ |\ 4] = [0\ 5\ -10\ |\ B - 28] 

• Из третьей строки вычтем 8 × (первая строка):

 R_3 = R_3 - 8R_1: [8\ 5\ A\ |\ -3] - 8*[1\ 0\ 1\ |\ 4] = [0\ 5\ A - 8\ |\ -35] 

Теперь матрица выглядит так:

 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 4 \ 0 & 5 & -10 & | & B - 28 \ 0 & 5 & A - 8 & | & -35 \end{bmatrix} 

Шаг 4: Обнуляем под вторым элементом во втором столбце

Вычтем вторую строку из третьей:

 R_3 = R_3 - R_2: [0\ 5\ A - 8\ |\ -35] - [0\ 5\ -10\ |\ B - 28] = [0\ 0\ A + 2\ |\ -7 - B] 

Итоговая матрица:

 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 4 \ 0 & 5 & -10 & | & B - 28 \ 0 & 0 & A + 2 & | & -7 - B \end{bmatrix} 

Шаг 5: Условие бесконечного множества решений

Система имеет бесконечное множество решений, если:

• Совместна (нет противоречий)
• Число переменных больше числа независимых уравнений

Это возможно, если последняя строка обращается в нули:
[0\ 0\ 0\ |\ 0]

То есть:

• A + 2 = 0 \Rightarrow A = -2
• -7 - B = 0 \Rightarrow B = -7

Шаг 6: Подставим A = -2 и B = -7 в систему

Получим систему:

 \begin{cases} x + z = 4 \ 7x + 5y - 3z = -7 \ 8x + 5y - 2z = -3 \end{cases} 

Шаг 7: Найдем общее решение

Решим систему при A = -2, B = -7:

1. Из первого уравнения:
   x = 4 - z

2. Подставим x = 4 - z во второе и третье уравнение:

Второе уравнение:

 7(4 - z) + 5y - 3z = -7 \Rightarrow 28 - 7z + 5y - 3z = -7 

 5y - 10z = -35 \Rightarrow y = 2z - 7 

Третье уравнение:

 8(4 - z) + 5y - 2z = -3 \Rightarrow 32 - 8z + 5y - 2z = -3 

 5y - 10z = -35 \Rightarrow y = 2z - 7 

Совпадает — система совместна.

Ответ:

Значения параметров:

A = -2, B = -7

Общее решение:

Пусть z = t — параметр

Тогда:

 \begin{cases} x = 4 - t \ y = 2t - 7 \ z = t \end{cases} 

Итог:

Система имеет бесконечно много решений при A = -2, B = -7.
Общее решение в параметрической форме:

 (x, y, z) = (4 - t,\ 2t - 7,\ t),\quad t \in \mathbb{R}