Найти свободные переменные

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Системы линейных уравнений, ранги матриц, базисные и свободные переменные

Решение:

Рассмотрим систему уравнений:

 \[ \begin{cases} 3x_1 + 3x_2 - x_3 + x_4 - 4x_5 = 0, \ x_2 - 3x_3 - 3x_4 - x_5 = 0, \ 4x_3 + 2x_4 + 4x_5 = 0. \end{cases} \] 

Запишем её в матричной форме ( A \mathbf{x} = 0 ), где коэффициентная матрица:

 \[ A = \begin{bmatrix} 3 & 3 & -1 & 1 & -4 \ 0 & 1 & -3 & -3 & -1 \ 0 & 0 & 4 & 2 & 4 \end{bmatrix}. \] 

1. Определение базисных и свободных переменных

Приведём матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса:

1. Первый ведущий элемент — ( 3 ) в первой строке.
2. Во второй строке ведущий элемент — ( 1 ) во втором столбце.
3. В третьей строке ведущий элемент — ( 4 ) в третьем столбце.

Таким образом, ведущие переменные:

• ( x_1 ) (первый столбец),
• ( x_2 ) (второй столбец),
• ( x_3 ) (третий столбец).

Остальные переменные ( x_4 ) и ( x_5 ) являются свободными.

2. Выбор ответа

Свободные переменные можно выбрать как ( x_4 ) и ( x_5 ), что соответствует варианту (2).

Ответ: 2) ( x_4, x_5 ).