Найдите фундаментальный набор решений

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Системы линейных уравнений

Нам необходимо найти фундаментальный набор решений для данной системы линейных уравнений. Это означает, что нужно найти общее решение системы, выразив его через базис пространства решений.

Система уравнений:  \begin{cases} -5x_1 - 6x_2 + 2x_3 - 7x_4 - 4x_5 = 0, \ 2x_1 + 3x_2 - x_3 + 4x_4 + 2x_5 = 0, \ 5x_1 + 9x_2 - 3x_3 + x_4 + 6x_5 = 0, \ 7x_1 + 12x_2 - 4x_3 + 5x_4 + 8x_5 = 0. \end{cases} 

Шаг 1. Задание матрицы системы

Запишем расширенную матрицу системы:

 A = \begin{bmatrix} -5 & -6 & 2 & -7 & -4 \ 2 & 3 & -1 & 4 & 2 \ 5 & 9 & -3 & 1 & 6 \ 7 & 12 & -4 & 5 & 8 \end{bmatrix}. 

Шаг 2. Приведение матрицы к ступенчатому виду

Применим метод Гаусса для приведения матрицы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразования строк.

Итерация 1: Преобразование первой строки

Выберем первый элемент в качестве ведущего: a_{11} = -5. Преобразуем остальные строки так, чтобы их первые элементы стали равны нулю.

1. Разделим первую строку на -5:  R_1 = \frac{R_1}{-5}. 

   Получаем:  R_1 = [1, \frac{6}{5}, -\frac{2}{5}, \frac{7}{5}, \frac{4}{5}]. 

2. Преобразуем остальные строки:  R_2 = R_2 - 2R_1, \quad R_3 = R_3 - 5R_1, \quad R_4 = R_4 - 7R_1. 

После выполнения вычислений матрица примет вид:  \begin{bmatrix} 1 & \frac{6}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{7}{5} & \frac{4}{5} \ 0 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & \frac{6}{5} & \frac{6}{5} \ 0 & 3 & -1 & -6 & 2 \ 0 & \frac{6}{5} & -\frac{6}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{4}{5} \end{bmatrix}. 

Шаг 3. Преобразование второй строки

Выберем a_{22} = \frac{3}{5} в качестве ведущего элемента. Преобразуем остальные строки так, чтобы их вторые элементы стали равны нулю.

1. Разделим вторую строку на \frac{3}{5}:  R_2 = \frac{R_2}{\frac{3}{5}}. 

   Получаем:  R_2 = [0, 1, \frac{1}{3}, 2, 2]. 

2. Преобразуем остальные строки:  R_3 = R_3 - 3R_2, \quad R_4 = R_4 - \frac{6}{5}R_2. 

После выполнения вычислений матрица примет вид:  \begin{bmatrix} 1 & \frac{6}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{7}{5} & \frac{4}{5} \ 0 & 1 & \frac{1}{3} & 2 & 2 \ 0 & 0 & -2 & -12 & -4 \ 0 & 0 & -2 & -6 & 0 \end{bmatrix}. 

Шаг 4. Преобразование третьей строки

Выберем a_{33} = -2 в качестве ведущего элемента. Преобразуем четвёртую строку так, чтобы её третий элемент стал равен нулю.

1. Разделим третью строку на -2:  R_3 = \frac{R_3}{-2}. 

   Получаем:  R_3 = [0, 0, 1, 6, 2]. 

2. Преобразуем четвёртую строку:  R_4 = R_4 - (-2)R_3. 

После выполнения вычислений матрица примет вид:  \begin{bmatrix} 1 & \frac{6}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{7}{5} & \frac{4}{5} \ 0 & 1 & \frac{1}{3} & 2 & 2 \ 0 & 0 & 1 & 6 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 6 & 2 \end{bmatrix}. 

Шаг 5. Преобразование четвёртой строки

Разделим четвёртую строку на 6:  R_4 = \frac{R_4}{6}. 

Получаем:  R_4 = [0, 0, 0, 1, \frac{1}{3}]. 

Шаг 6. Обратный ход Гаусса

Теперь выразим переменные x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 через свободные переменные. Пусть x_5 = t — свободная переменная. Подставляем её в уравнения и выражаем остальные переменные.

1. Из четвёртой строки:  x_4 = -\frac{1}{3}t. 

2. Из третьей строки:  x_3 = -6x_4 - 2t = -6\left(-\frac{1}{3}t\right) - 2t = 0. 

3. Из второй строки:  x_2 = -\frac{1}{3}x_3 - 2x_4 - 2t = 0 - 2\left(-\frac{1}{3}t\right) - 2t = -\frac{4}{3}t. 

4. Из первой строки:  x_1 = -\frac{6}{5}x_2 + \frac{2}{5}x_3 - \frac{7}{5}x_4 - \frac{4}{5}t. 

После подстановки получаем:  x_1 = \frac{8}{5}t. 

Шаг 7. Фундаментальный набор решений

Общее решение имеет вид:  \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ x_5 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} \frac{8}{5} \ -\frac{4}{3} \ 0 \ -\frac{1}{3} \ 1 \end{bmatrix}. 

Фундаментальный набор решений состоит из одного базисного вектора:  \begin{bmatrix} \frac{8}{5} \ -\frac{4}{3} \ 0 \ -\frac{1}{3} \ 1 \end{bmatrix}.