Нахождение алгебраического дополнения

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Определители и алгебраические дополнения

Для нахождения алгебраического дополнения ( A_{12} ) определителя матрицы, необходимо:

1. Удалить из матрицы первую строку и второй столбец (так как ( A_{12} ) соответствует элементу, находящемуся в первой строке и втором столбце).
2. Вычислить определитель полученной матрицы меньшего порядка (матрицы ( 2 \times 2 )).
3. Умножить результат на знак, определяемый формулой ( (-1)^{i+j} ), где ( i ) и ( j ) — номера строки и столбца элемента (в данном случае ( i = 1 ), ( j = 2 )).

Дано:

Матрица: [ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \ 4 & 1 & -3 \ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} ]

Шаг 1: Удаление строки и столбца

Удаляем первую строку и второй столбец. Получаем матрицу: [ \begin{vmatrix} 4 & -3 \ 2 & 1 \end{vmatrix} ]

Шаг 2: Вычисление определителя

Определитель матрицы ( 2 \times 2 ) вычисляется по формуле: [ \text{det} = ad - bc ]

Подставляем значения: [ \text{det} = (4 \cdot 1) - (2 \cdot -3) = 4 + 6 = 10 ]

Шаг 3: Учет знака

Знак определяется формулой ( (-1)^{i+j} ). Для ( i = 1 ), ( j = 2 ): [ (-1)^{1+2} = (-1)^3 = -1 ]

Умножаем определитель на знак: [ A_{12} = -1 \cdot 10 = -10 ]

Ответ:

Алгебраическое дополнение ( A_{12} ) равно: [ \boxed{-10} ]