Какие существуют произведения матриц

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Матрицы и операции над ними

Условие задачи:

Даны две матрицы:
A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -5 \end{pmatrix} (размерность 1×3)
B = \begin{pmatrix} -2 & 3 \ 1 & -1 \ 5 & 1 \end{pmatrix} (размерность 3×2).

Необходимо определить, какие произведения матриц существуют:

1. Только AB
2. Только BA
3. И то, и другое
4. Ни то, ни другое

Решение:

Чтобы определить возможность произведения двух матриц, нужно учитывать их размерности. Пусть:

• Матрица A имеет размерность m \times n,
• Матрица B имеет размерность p \times q.

Произведение AB возможно, если число столбцов первой матрицы (n) совпадает с числом строк второй матрицы (p). В этом случае результат будет иметь размерность m \times q.
Произведение BA возможно, если число столбцов второй матрицы (q) совпадает с числом строк первой матрицы (m). В этом случае результат будет иметь размерность p \times n.

1. Проверяем произведение AB:

• Матрица A имеет размерность 1×3 (m = 1, n = 3),
• Матрица B имеет размерность 3×2 (p = 3, q = 2).

Так как число столбцов матрицы A (n = 3) совпадает с числом строк матрицы B (p = 3), произведение AB возможно. Размерность результата будет 1×2.

2. Проверяем произведение BA:

• Матрица B имеет размерность 3×2 (p = 3, q = 2),
• Матрица A имеет размерность 1×3 (m = 1, n = 3).

Так как число столбцов матрицы B (q = 2) не совпадает с числом строк матрицы A (m = 1), произведение BA невозможно.

Ответ:

Существует только произведение AB.

Правильный вариант ответа: 1. Только AB.