Исследовать на совместимость, найти ранг матрицы и найти частное и общее решение

Это задание относится к предмету "Линейная алгебра", раздел "Системы линейных уравнений".

1. Запишем систему линейных уравнений в матричной форме: A x = b, где A = \(\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 4 \\ 4 & -2 & 5 & 6 \\ 6 & -3 & 7 & 8 \\ 8 & -4 & 9 & 10 \end{pmatrix}\), x = \(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\), b = \(\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \\ 11 \end{pmatrix}\).
2. Исследуем систему на совместимость. Для этого необходимо найти ранг матрицы A и расширенной матрицы (A|b).
3. Найдем ранг матрицы A с помощью метода элементарных преобразований строк. Начнем с матрицы: \(\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 4 \\ 4 & -2 & 5 & 6 \\ 6 & -3 & 7 & 8 \\ 8 & -4 & 9 & 10 \end{pmatrix}\).
   Применим элементарные преобразования:
   • Разделим первую строку на 2: \(\begin{pmatrix} 1 & -0.5 & 1.5 & 2 \\ 4 & -2 & 5 & 6 \\ 6 & -3 & 7 & 8 \\ 8 & -4 & 9 & 10 \end{pmatrix}\).
   • Из второй строки вычтем первую, умноженную на 4: \(\begin{pmatrix} 1 & -0.5 & 1.5 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 6 & -3 & 7 & 8 \\ 8 & -4 & 9 & 10 \end{pmatrix}\).
   • Из третьей строки вычтем первую, умноженную на 6: \(\begin{pmatrix} 1 & -0.5 & 1.5 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \\ 8 & -4 & 9 & 10 \end{pmatrix}\).
   • Из четвертой строки вычтем первую, умноженную на 8: \(\begin{pmatrix} 1 & -0.5 & 1.5 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -3 & -6 \end{pmatrix}\).
   Теперь видно, что в матрице A ранг равен 2.
4. Проведем аналогичные операции для расширенной матрицы (A|b): \(\begin{pmatrix} 1 & -0.5 & 1.5 & 2 & 2.5 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & -3 & -6 & -7 \end{pmatrix}\). Теперь видно, что ранг расширенной матрицы также равен 2.
5. Поскольку ранги матрицы A и расширенной матрицы (A|b) равны, система совместна.
6. Теперь найдем общее решение. Поскольку ранг системы равен 2, необходимо выразить два свободных параметра. Уравнения после преобразования:
   1. x₃ + 2x₄ = 0 (x₃ = -2x₄)
   2. Подставляем значение x₃ во второе уравнение: -x₂ - x₃ - 2x₄ = 0 (x₂ = 2(2x₄) + 2x₄ = 6x₄)
   Решение: x₁ = свободный параметр, x₂ = 6x₄, x₃ = -2x₄, x₄ = свободный параметр.
   Частное решение: выберем x₄ = 0 (частное решение в зависимости от выбранной точки в пространстве решений). Подставляем: x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 0, x₄ = 0.
   Общее решение задается параметром t: x₁ = t, x₂ = 6t, x₃ = -2t, x₄ = t, где t - произвольный параметр.