На ребре CD куба ABCDA'B'C'D' взята точка М - середина этого ребра.

Пример 1:

На ребре CD куба ABCDA'B'C'D' взята точка М - середина этого ребра. Построить сечение куба плоскостью, перпендикулярной прямой А'М и проходящей через точку С'. Найти площадь полученного сечения, если ребро куба равно а.

Решение от преподавателя:

Идея решения основывается на том факте, что чтобы начертить плоскость, перпендикулярную какому-либо отрезку, необходимо начертить такую плоскость, которая была бы параллельна двум отрезкам, оба из которых в свою очередь перпендикулярны данному отрезку, но не были бы между собой параллельны. Поэтому необходимо для начала построить такие два отрезка, не лежащие в одной плоскости, перпендикулярные отрезку A'M.

Построим первый отрезок.

Повернем прямоугольный треугольник DD'M в плоскости этого треугольника относительно точки D' так, чтобы точка D перешла в точку C'. При этом точка М перейдет в точку М', лежащую на прямой СС', так как углы М'C'D' и D'C'C равны оба 90^о градусов. Так как угол поворота DD'C' равен 90^о, то угол между подобными отрезками D'M и D'M' тоже равен 90^о.

Так как A'D'┴D'C' и D'D, значит A'D'┴ любому отрезку в этой плоскости, значит A'D'┴D'M'. Но так как выше было показано, что D'M'┴D'M, значит отрезок D'M' ┴ любому отрезку в плоскости A'D'M, в том числе отрезку A'M.

Первый отрезок D'M'┴A'M построен.

Второй отрезок AM'' построим аналогично предыдущей процедуре путем поворота на 90^о треугольника ADM вокруг точки А в своей плоскости, при этом точка M'' будет лежать на прямой АB. Угол поворота для подобных отрезков АМ и АМ'' равен тоже 90^о, следовательно АМ''┴АМ.

Так как A'А┴АВ и АD, значит A'А┴ любому отрезку в этой плоскости, значит A'А┴АM''. Но так как выше было показано, что АM''┴АM, значит отрезок АM'' ┴ любому отрезку в плоскости A'АM, в том числе отрезку A'M.

Второй отрезок АM''┴A'M построен.

Отложим от точки С' отрезки, параллельные найденным выше двум отрезкам. Отрезок С'X, подобный и параллельный отрезку М''А, будет пересекать прямую А'D' в точке X. Отрезок С'Y, подобный и параллельный отрезку M'D', будет пересекать отрезок D'D в точке Y, делящей его пополам ввиду равенства малых катетов подобных треугольников С'D'Y, D'C'M', D'DM.

Исходя изо того факта, что все точки пересечения двух плоскостей лежат на одной прямой, построим искомое сечение куба плоскостью С'XY.

Искомая плоскость пересекает плоскость XYD' по прямой XY, которая пересекает отрезок АD в точке Z, которая делит его пополам ввиду подобия треугольников D'XY, DZY, а также того факта, что D'M = M''B = DM. Точка Z, наряду с точками Y и С', будет третьей точкой пересечения секущей плоскостью ребер куба.

Плоскость XYC' пересекает плоскость DCC'D' по прямой YC', которая пересекает прямую DC в точке G, причем ввиду подобия треугольников C'D'Y и GDY следует DY = D'C' или любой стороне куба.

Плоскость C'XY пересекает плоскость АВСD по прямой GZ, которая в свою очередь пересекает прямую АВ в точке В ввиду подобия получившихся треугольников АВZ и DGZ.

Таким образом искомое сечение представляет собой трапецию C'YZB с параллельными основаниями YZ, BC' и равными сторонами YC' и ZB.

Начертим данную трапецию и найдем ее площадь.

Основание ВС' является диагональю квадрата со стороной а, его длина равна а√2. Основание ZY является гипотенузой треугольника с катетами, равными половине стороны куба, значит его длина равна а√2/2. Длины отрезков YC, ZB вычислим по теореме Пифагора как гипотенузу в треугольнике с катетами а, а/2; их длина будет равна а√5/2. Проведем высоту в получившейся трапеции ZZ'. Длина отрезка BZ' является половиной разности оснований, то есть его длина равна а√2/4. Из этих данных по теореме Пифагора получим высоту ZZ': 

Площадь фигуры будет равна половине произведения суммы сторон на высоту, т.е.