На ребрах AD и B'C' прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D' с отношением ребер AB:AD:AA' = 1 : 2 : 1 взяты точки Р и Q

Пример 1:

На ребрах AD и B'C' прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D' с отношением ребер AB:AD:AA' = 1 : 2 : 1 взяты соответственно точки Р и Q − середины этих ребер. Найти угол, который образует с секущей плоскостью, проходящей через точки C, D, A', прямая РС'.

Решение от преподавателя:

Секущая плоскость, проходящая через точки C, D, A', проходит также через точку В', так как эта точка лежит на данной плоскости, следовательно, искомое сечение плоскостью есть прямоугольник А'В'СD.

Пусть Х − точка пересечения прямой С'Р с плоскостью А'В'СD. Искомый угол  − это угол между отрезком С'X и его проекцией на плоскость А'В'СD.

Проведем перпендикуляр С'H к отрезку СВ', а также перпендикуляр D'H' к отрезку DA'. Точки C'D'H'H лежат в одной плоскости, так как треугольники D'DH' и C'CH подобны, и отрезки D'H', C'H лежат в параллельных плоскостях и образуют с плоскостью C'D'CD одинаковые углы. Так как плоскости AA'D'D и BB'C'C параллельны и перпендикулярны отрезку C'D', то углы HC'D' и H'D'C' оба прямые. Отрезки D'H', C'H равны, как катеты равных треугольников. Следовательно, исходя из вышесказанного, С'D'H'H есть прямоугольник, у которого угол C'HH' прямой.

Так как углы С'HC и C'HH' оба перпендикулярны плоскости А'В'СD, значит и отрезок XH ┴ А'В'СD, а следовательно является проекцией С'X на А'В'СD, следовательно угол C'XH искомый угол.

Найдем искомый угол из соотношений длин сторон и углов прямоугольных треугольников C'X''X и C'HX, где X'X'' − отрезок прямой пересечения плоскостей А'В'СD и C'D'Q'P. (Отрезки X''С', X'D' равны и параллельны, исходя из подобия треугольников D'X'D и C'X''C, значит, С'D'X'X'' прямоугольник, и угол C'X''X прямой).

Пусть наименьшее ребро параллелепипеда будет равно а. Исходя из условия, PD = а. Треугольники PDX' и D'A'X' подобны, значит D'X'/X'P = A'D'/DP = 2, значит отрезок C'X'', равный D'X', имеет величину 2/3 от диагонали квадрата D'DPP' и равен . Точка Х, исходя из подобия треугольников C'XX'' и PXX' также делит отрезок X'X'' в пропорции 1/2, а значит XX'' = 2а/3, т.к. X'X'' равен а. Из этих величин по теореме Пифагора имеем, что величина отрезка C'X равна

Величину C'H найдем, исходя из подобия треугольников CC'H и CB'C'. Откуда получаем, что С'H/C'C = B'C'/B'C, то есть C'H = C'C∙B'C'/B'C, отрезок  C'H равен

Получается, что sin() = C'H/C'X =  = 0.775, по таблице значений синусов это значение соответствует углу 51^о.

Ответ: = 51^о.