Задать графически функцию

Рассмотрим задание 3 из варианта 2, где требуется задать графически функцию $$y = f (x) $$ , у которой:

Анализ условий:
- Область определения функции $$D (f) = R $$ говорит о том, что $$f (x) $$ определена для всех $$x $$ . То есть выражение функции не должно содержать деления на 0, корень из отрицательного числа и других ограничивающих факторов.
- Предельные условия:
  - $$lim_{x \to + \infty} f (x) = 0 $$ : при $$x \to + \infty $$ , значение функции стремится к 0;
  - $$lim_{x \to - \infty} f (x) = - 4 $$ : при $$x \to - \infty $$ , значение функции стремится к -4.

Выбор подходящей функции:
Условия задачи удовлетворяет функция вида: $\[f (x) = \frac{- 4}{1 + e^{x}}, \]$ где $$e^{x} $$ — экспоненциальная функция.

Проверка условий:
- Область определения: $$e^{x} > 0 $$ для всех $$x $$ , следовательно, знаменатель $$1 + e^{x} > 0 $$ , то есть область определения — все $$x \in R $$ .
- Предельные переходы:
  - При $$x \to + \infty $$ : $$e^{x} \to + \infty $$ , поэтому: $\[f (x) = \frac{- 4}{1 + e^{x}} \to 0. \]$
  - При $$x \to - \infty $$ : $$e^{x} \to 0 $$ , поэтому: $\[f (x) = \frac{- 4}{1 + e^{x}} \to \frac{- 4}{1 + 0} = - 4. \]$

Графический вид функции:
- На $$x \to + \infty $$ , функция стремится к горизонтальной асимптоте $$y = 0 $$ ;
- На $$x \to - \infty $$ , функция стремится к горизонтальной асимптоте $$y = - 4 $$ ;
- Между этими значениями функция плавно переходит через область около $$x = 0 $$ .

Функция $$y = f (x) $$ задается как $$f (x) = \frac{- 4}{1 + e^{x}} $$ .

Время — это деньги!