Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций, построение графиков
Рассмотрим задание 3 из варианта 2, где требуется задать графически функцию
\( y = f(x) \), у которой:
- \( D(f) = \mathbb{R} \) (область определения - все вещественные числа);
- \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \);
- \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -4 \).
Решение:
- Анализ условий:
- Область определения функции
\( D(f) = \mathbb{R} \) говорит о том, что
\( f(x) \) определена для всех
\( x \). То есть выражение функции не должно содержать деления на 0, корень из отрицательного числа и других ограничивающих факторов.
- Предельные условия:
-
\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \): при
\( x \to +\infty \), значение функции стремится к 0;
-
\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -4 \): при
\( x \to -\infty \), значение функции стремится к -4.
- Выбор подходящей функции:
Условия задачи удовлетворяет функция вида:
\[ f(x) = \frac{-4}{1 + e^x}, \]
где \( e^x \) — экспоненциальная функция.
- Проверка условий:
- Область определения:
\( e^x > 0 \) для всех
\( x \), следовательно, знаменатель
\( 1 + e^x > 0 \), то есть область определения — все
\( x \in \mathbb{R} \).
- Предельные переходы:
- При \( x \to +\infty \):
\( e^x \to +\infty \), поэтому:
\[ f(x) = \frac{-4}{1 + e^x} \to 0. \]
- При \( x \to -\infty \):
\( e^x \to 0 \), поэтому:
\[ f(x) = \frac{-4}{1 + e^x} \to \frac{-4}{1 + 0} = -4. \]
- Графический вид функции:
- На \( x \to +\infty \), функция стремится к горизонтальной асимптоте
\( y = 0 \);
- На \( x \to -\infty \), функция стремится к горизонтальной асимптоте
\( y = -4 \);
- Между этими значениями функция плавно переходит через область около
\( x = 0 \).
Ответ:
Функция
\( y = f(x) \) задается как
\( f(x) = \frac{-4}{1 + e^x} \).