Найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 3220 и 1550 с помощью алгоритма Евклида

Предмет: Математика Раздел: Числовая теория, тема "Алгоритм Евклида"

Задание просит найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел \(3220\) и \(1550\) с помощью алгоритма Евклида.

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида используется для нахождения НОД двух чисел. Суть его заключается в том, что НОД \(a\) и \(b\) равен НОД для \(b\) и остатка от деления \(a\) на \(b\), то есть:

\[\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(b, a \% b)\]

Алгоритм повторяется до тех пор, пока один из остатков не станет равным нулю. Тогда второе число и будет НОД.

Шаги решения:

1. Начнем с деления большего числа \(3220\) на меньшее \(1550\).

   \[3220 \div 1550 = 2 \text{ (целая часть)}, \quad \text{остаток} = 3220 - (1550 \times 2) = 3220 - 3100 = 120\]

   То есть:

   \[3220 = 1550 \times 2 + 120\]

   Теперь используем следующий шаг алгоритма Евклида. Найдём НОД для чисел \(1550\) и \(120\).

2. Делим \(1550\) на \(120\):

   \[1550 \div 120 = 12 \text{ (целая часть)}, \quad \text{остаток} = 1550 - (120 \times 12) = 1550 - 1440 = 110\]

   То есть:

   \[1550 = 120 \times 12 + 110\]

   Теперь продолжаем: найдём НОД для чисел \(120\) и \(110\).

3. Делим \(120\) на \(110\):

   \[120 \div 110 = 1 \text{ (целая часть)}, \quad \text{остаток} = 120 - (110 \times 1) = 120 - 110 = 10\]

   То есть:

   \[120 = 110 \times 1 + 10\]

   Теперь нужно найти НОД для чисел \(110\) и \(10\).

4. Делим \(110\) на \(10\):

   \[110 \div 10 = 11 \text{ (целая часть)}, \quad остаток = 0\]

Ответ: НОД чисел 3220 и 1550 равен 10.

Так как остаток равен нулю, наибольший общий делитель найден.