Нахождение многочлена Ньютона максимальной возможной степени для численного расчета суммы

Предмет: Математика (Раздел: Приближение функций) Задача состоит в нахождении многочлена Ньютона максимальной возможной степени для численного расчета суммы: \( S_n = \sum_{j=1}^n (2j - 1)^2 \)

1. Разберем задачу

Формула суммы: \( S_n = \sum_{j=1}^n (2j - 1)^2 \) Данная сумма складывает квадраты нечетных чисел и может быть записана как: \( S_n = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 \) Наша задача — построить полином Ньютона для этой суммы, чтобы приблизить вычисления для больших \( n \).

2. Формула частных разностей (метод Ньютона)

Многочлен Ньютона строится по известным точкам путем последовательного вычисления конечных разностей. Пусть значения суммы \( S_n \) для нескольких первых значений \( n \) известны:

• Рассчитаем первые несколько значений \( S_n \) вручную: \( S_1 = 1^2 = 1 \), \( S_2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \), \( S_3 = 1^2 + 3^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35 \), \( S_4 = 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 = 1 + 9 + 25 + 49 = 84 \)
• Теперь найдем конечные разности:
• Первая разность: \( \Delta S_1 = S_2 - S_1 = 10 - 1 = 9 \), \( \Delta S_2 = S_3 - S_2 = 35 - 10 = 25 \), \( \Delta S_3 = S_4 - S_3 = 84 - 35 = 49 \)
• Вторая разность: \( \Delta^2 S_1 = \Delta S_2 - \Delta S_1 = 25 - 9 = 16 \), \( \Delta^2 S_2 = \Delta S_3 - \Delta S_2 = 49 - 25 = 24 \)
• Третья разность: \( \Delta^3 S_1 = \Delta^2 S_2 - \Delta^2 S_1 = 24 - 16 = 8 \)

Эти конечные разности помогут нам построить полином.

3. Многочлен Ньютона

Для построения многочлена Ньютона, используется следующая общая формула: \( S_n = S_1 + \Delta S_1 (n - 1) + \frac{\Delta^2 S_1}{2} (n - 1)(n - 2) + \frac{\Delta^3 S_1}{6} (n - 1)(n - 2)(n - 3) + \dots \) Подставляем значения, которые мы вычислили:

• \( S_1 = 1 \)
• \( \Delta S_1 = 9 \)
• \( \Delta^2 S_1 = 16 \)
• \( \Delta^3 S_1 = 8 \)

Следовательно, полином Ньютона будет: \( S_n = 1 + 9(n - 1) + 8(n - 1)(n - 2) + \left(\frac{4}{3}\right)(n - 1)(n - 2)(n - 3) \)

4. Выбор правильного ответа

Ответ: второй вариант.

Сравнивая эту формулу с вариантами ответов, видим, что правильный вариант: \(\ S_n = 1 + 9(n - 1) + 8(n - 1)(n - 2) + \left(\frac{4}{3}\right)(n - 1)(n - 2)(n - 3) \)

Этот вариант соответствует второму ответу в списке.