Вычислить предел с помощью правила лопиталя

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Пределы, правило Лопиталя)

Нужно вычислить предел:

\lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln(x+3)}{\ln(x^2+x)}.

Решение:

1. Анализ структуры предела
   При (x \to +\infty):

   • Числитель (x \ln(x+3) \to +\infty), так как (x \ln(x+3)) растет неограниченно.
   • Знаменатель (\ln(x^2 + x) \to +\infty), так как логарифм от бесконечно большого аргумента также стремится к бесконечности.

2. Предел имеет неопределенность вида (\frac{\infty}{\infty}). Применим правило Лопиталя.

3. Применение правила Лопиталя
   По правилу Лопиталя вычисляем производные числителя и знаменателя:

   • Производная числителя:
     [ \frac{d}{dx}\left(x \ln(x+3)\right) = \ln(x+3) + x \cdot \frac{1}{x+3} = \ln(x+3) + \frac{x}{x+3}. ]
   • Производная знаменателя:
     [ \frac{d}{dx}\left(\ln(x^2 + x)\right) = \frac{1}{x^2 + x} \cdot (2x + 1) = \frac{2x + 1}{x^2 + x}. ]

4. Подставляем производные в предел: [ \lim{x \to +\infty} \frac{x \ln(x+3)}{\ln(x^2+x)} = \lim{x \to +\infty} \frac{\ln(x+3) + \frac{x}{x+3}}{\frac{2x + 1}{x^2 + x}}. ]

5. Упрощение выражения
   Упростим дробь: [ \frac{\ln(x+3) + \frac{x}{x+3}}{\frac{2x + 1}{x^2 + x}} = \left(\ln(x+3) + \frac{x}{x+3}\right) \cdot \frac{x^2 + x}{2x + 1}. ]

   При (x \to +\infty):

   • (\ln(x+3) \sim \ln(x)), так как (x+3 \sim x).
   • (\frac{x}{x+3} \to 1), так как (x+3 \sim x).
   • (x^2 + x \sim x^2).
   • (2x + 1 \sim 2x).

6. Подставляем асимптотику: [ \lim{x \to +\infty} \frac{\ln(x+3) + \frac{x}{x+3}}{\frac{2x + 1}{x^2 + x}} \sim \lim{x \to +\infty} \left(\ln(x) + 1\right) \cdot \frac{x^2}{2x}. ]

   Упрощаем: [ \lim{x \to +\infty} \left(\ln(x) + 1\right) \cdot \frac{x}{2} = \lim{x \to +\infty} \frac{x \ln(x)}{2} + \frac{x}{2}. ]

7. Асимптотический результат
   При (x \to +\infty) доминирующим слагаемым является (\frac{x \ln(x)}{2}). Следовательно: [ \lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln(x+3)}{\ln(x^2+x)} = \infty. ]

Ответ:

Предел равен (\infty).