Вычислить предел функции не пользуясь средствами дифференциального исчисления

Определение предмета и раздела

Предмет: математика
Раздел: математический анализ, вычисление пределов функции.

Задание

\[ \lim_{x \to 0} \frac{2^{x+1}}{\ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)}. \]

Подробное решение

Шаг 1: Упростим числитель

В числителе \( 2^{x+1} \) можно расписать как:

\[ 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x. \]

Таким образом, начальная функция принимает вид:

\[ \frac{2 \cdot 2^x}{\ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)}. \]

Шаг 2: Поведение числителя

1. При \( x \to 0 \), \( 2^x \to 1 \) (так как \( 2^0 = 1 \)).
2. Значит, числитель \( 2 \cdot 2^x \to 2 \cdot 1 = 2 \).

Шаг 3: Поведение знаменателя

Рассмотрим выражение в логарифме:

\[ 1 + \frac{1}{x^2}. \]

1. При \( x \to 0 \) (с обоих сторон, положительных и отрицательных значений), \(\frac{1}{x^2} \to +\infty\), поэтому \( 1 + \frac{1}{x^2} \to +\infty \).
2. Для больших значений аргумента натуральный логарифм \( \ln(y) \) приближается к \( \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) \), когда \( x \to 0 \). Значит, знаменатель можно аппроксимировать как:

\[ \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) \sim \ln\left(\frac{1}{x^2}\right). \]

Шаг 4: Упрощение логарифма

Так как

\[ \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) = \ln(1) - \ln(x^2) = -2\ln(x), \]

то знаменатель упрощается до:

\[ \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) \sim -2\ln|x|, \quad x \to 0. \]

Шаг 5: Замена в предел

Функция теперь принимает вид:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{-2\ln|x|}. \]

Сократим двойки:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{-\ln|x|}. \]

Шаг 6: Поведение предела

При \( x \to 0 \), \( \ln|x| \to -\infty \) (так как \( x \) стремится к 0 с положительной и отрицательной сторон). Значит:

\[ \frac{1}{-\ln|x|} = \frac{1}{+\infty} \to 0. \]

Ответ:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{2^{x+1}}{\ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = 0. \]

Вычислить предел функции, не пользуясь средствами дифференциального исчисления: