Вычислить предел функции методом вычисления предела и раскрытия неопределенностей

Эти задачи относятся к разделу "Анализ" в математике, а конкретно к теме "Пределы функции". Мы будем использовать методы вычисления предела и раскрытия неопределенностей.

1. \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}\)

Попробуем сначала упростить выражение с помощью разложения на множители.

Числитель: \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)

Знаменатель: \(x^2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)\)

Подставим в предел: \[\lim\limits_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x - 10)} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x - 3}{x - 10} \]

Если \(x \ne 2\), у нас остается: \[\lim\limits_{x \to 2} \frac{x - 3}{x - 10} = \frac{2 - 3}{2 - 10} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8} \]

2. \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}\)

При \(x \to \infty\) доминирует старший член полинома \(x^2\), что позволяет упростить дробь:

Учитывая, что при \(x \to \infty\) термины \(\frac{5}{x}\) и другие стремятся к нулю, получаем: \[\frac{1 - 0 + 0}{1 - 0 + 0} = 1 \]

3. \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{3x^2 - x - 2}\)

Аналогично первым задачам, сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \(2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)\)

Знаменатель: \(3x^2 - x - 2 = (3x + 2)(x - 1)\)

Подставим в предел: \[\lim\limits_{x \to 1} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{(3x + 2)(x - 1)} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{2x + 1}{3x + 2} \]

Если \(x \ne 1\), у нас остается: \[\lim\limits_{x \to 1} \frac{2x + 1}{3x + 2} = \frac{2 \cdot 1 + 1}{3 \cdot 1 + 2} = \frac{3}{5} \]

Ответы:

1. \(\frac{1}{8}\)

2. \(1\)

3. \(\frac{3}{5}\)