Решить предел

Данное задание относится к предмету "математика", и конкретно это тема из математического анализа — "Пределы" или "Асимптотический анализ".

Условие:

\[ x \sin(\sqrt{x}) = x^{3/2} + o(x^{3/2}) \text{ при } x \to +0. \]

Здесь нужно найти предел выражения при \( x \to 0^+ \).

Разбор задания:

Нам адресовано следующее выражение: \[ x \sin(\sqrt{x}) \] и указано, что это выражение имеет асимптотику вида: \[ x \sin(\sqrt{x}) = x^{3/2} + o(x^{3/2}) \text{ при } x \to +0. \]

1. Найдём предел правой части:

Выражение \( x^{3/2} \) при \( x \to 0^+ \) стремится к \( 0 \):

\[ \lim_{x \to 0^+} x^{3/2} = 0. \]

Также малый порядок \( o(x^{3/2}) \) означает, что эта часть стремится к 0 "быстрее" чем \( x^{3/2} \), когда \( x \to 0^+ \). То есть:

\[ \lim_{x \to 0^+} o(x^{3/2}) = 0. \]

Объединяя эти результаты, получаем, что правую часть асимптотического выражения можно записать:

\[ \lim_{x \to 0^+} \left( x^{3/2} + o(x^{3/2}) \right) = 0. \]

2. Найдём предел левой части:

Теперь нам осталось проверить предел левой части выражения \( x \sin(\sqrt{x}) \).

При \( x \to 0^+ \), подкоренное выражение \( \sqrt{x} \) тоже стремится к нулю, поэтому можно воспользоваться известным пределом:

\[ \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1. \]

Положим \( y = \sqrt{x} \). Тогда при \( x \to 0^+, \) \( y \to 0^+ \), и перепишем исходное выражение как:

\[ x \sin(\sqrt{x}) = \frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \cdot x^{3/2}. \]

Зная, что:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = 1, \]

можем получить:

\[ \lim_{x \to 0^+} x \sin(\sqrt{x}) = \lim_{x \to 0^+} x^{3/2} = 0. \]

Окончательный вывод:

\[ \lim_{x \to 0^+} x \sin(\sqrt{x}) = 0. \]

Ответ: \[ \boxed{0}. \]