Предел функции

Предмет: Математика

Раздел: Пределы функций

Рассмотрим предел функции:

\lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 - 3x + 2}{7x + 6 - 3x^4}.

Решение:

1. Определим степень числителя и знаменателя:

   • В числителе: (5x^4 - 3x + 2), старшая степень — (x^4).
   • В знаменателе: (7x + 6 - 3x^4), старшая степень — (x^4).

2. Разделим числитель и знаменатель на (x^4), старшую степень:

 \frac{5x^4 - 3x + 2}{7x + 6 - 3x^4} = \frac{\frac{5x^4}{x^4} - \frac{3x}{x^4} + \frac{2}{x^4}}{\frac{7x}{x^4} + \frac{6}{x^4} - \frac{3x^4}{x^4}}. 

Упростим каждое слагаемое:

 \frac{5x^4 - 3x + 2}{7x + 6 - 3x^4} = \frac{5 - \frac{3}{x^3} + \frac{2}{x^4}}{\frac{7}{x^3} + \frac{6}{x^4} - 3}. 

3. Переход к пределу при (x \to \infty):
   • При (x \to \infty), все члены с (\frac{1}{x^n}) стремятся к нулю ((n > 0)).
   • Остается:

 \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x^3} + \frac{2}{x^4}}{\frac{7}{x^3} + \frac{6}{x^4} - 3} = \frac{5}{-3}. 

4. Ответ:

 \lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 - 3x + 2}{7x + 6 - 3x^4} = -\frac{5}{3}.