Найти предел выражения

Предмет: Математика
Раздел: Пределы функций

Нам нужно найти предел выражения:

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3+x} - 2}{3 - \sqrt{8+x}}

Шаг 1. Подставим значение x = 1 в выражение

Подставим x = 1 в числитель и знаменатель:

• Числитель: \sqrt{3+1} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0
• Знаменатель: 3 - \sqrt{8+1} = 3 - \sqrt{9} = 3 - 3 = 0

Получаем неопределенность вида \frac{0}{0}. Значит, нужно преобразовать выражение.

Шаг 2. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Для устранения неопределенности воспользуемся приемом умножения на сопряженное выражение. Числитель \sqrt{3+x} - 2 умножим на \sqrt{3+x} + 2, а знаменатель 3 - \sqrt{8+x} умножим на 3 + \sqrt{8+x}:

 \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3+x} - 2}{3 - \sqrt{8+x}} \cdot \frac{\sqrt{3+x} + 2}{\sqrt{3+x} + 2} \cdot \frac{3 + \sqrt{8+x}}{3 + \sqrt{8+x}} 

Шаг 3. Упростим числитель и знаменатель

Числитель:

(\sqrt{3+x} - 2)(\sqrt{3+x} + 2) = (\sqrt{3+x})^2 - 2^2 = (3+x) - 4 = x - 1

Знаменатель:

(3 - \sqrt{8+x})(3 + \sqrt{8+x}) = 3^2 - (\sqrt{8+x})^2 = 9 - (8+x) = 9 - 8 - x = 1 - x

Подставляем упрощенные выражения в предел:

 \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{1 - x} \cdot \frac{\sqrt{3+x} + 2}{3 + \sqrt{8+x}} 

Шаг 4. Упростим дробь

Заметим, что \frac{x - 1}{1 - x} = -1. Тогда выражение принимает вид:

 \lim_{x \to 1} -\frac{\sqrt{3+x} + 2}{3 + \sqrt{8+x}} 

Шаг 5. Подставим x = 1

Теперь подставим x = 1 в оставшееся выражение:

• Числитель: \sqrt{3+1} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4
• Знаменатель: 3 + \sqrt{8+1} = 3 + \sqrt{9} = 3 + 3 = 6

Получаем:

 -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} 

Ответ:

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3+x} - 2}{3 - \sqrt{8+x}} = -\frac{2}{3}