Найди область определения функции

Предмет: Математика

Раздел: Анализ (область определения функции)

Найдем область определения каждой функции.

а) ( f(x) = x^2 - 18x + \frac{2}{18^2 - x^2} - \frac{1}{x} )

Функция содержит два рациональных выражения:

1. Дробь ( \frac{2}{18^2 - x^2} ) определена, если знаменатель не равен нулю:
   18^2 - x^2 \neq 0
   324 - x^2 \neq 0
   x^2 \neq 324
   x \neq \pm 18

2. Дробь ( \frac{1}{x} ) определена, если ( x \neq 0 ).

Объединяя условия, получаем область определения:
D = \mathbb{R} \setminus \{-18, 0, 18\}

б) ( f(x) = x \ln(x^2 - 30x + (18+4)(26-18)) + \sqrt{\frac{x-3}{x+5}} )

Функция содержит:

1. Логарифм ( \ln(x^2 - 30x + (18+4)(26-18)) ), который определен при положительном аргументе:
   Вычислим выражение внутри логарифма:
   (18+4)(26-18) = 22 \cdot 8 = 176
   Тогда:
   x^2 - 30x + 176 > 0
   Решим квадратное уравнение:
   x^2 - 30x + 176 = 0
   Дискриминант:
   D = (-30)^2 - 4 \cdot 176 = 900 - 704 = 196
   Корни:
   x = \frac{30 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{30 \pm 14}{2}
   x_1 = \frac{30 + 14}{2} = 22, \quad x_2 = \frac{30 - 14}{2} = 8
   Неравенство ( x^2 - 30x + 176 > 0 ) выполняется при ( x < 8 ) или ( x > 22 ).

2. Корень ( \sqrt{\frac{x-3}{x+5}} ) определен при ( \frac{x-3}{x+5} \geq 0 ).
   Решим неравенство:

   • Числитель ( x - 3 ) равен нулю при ( x = 3 ), положителен при ( x > 3 ).
   • Знаменатель ( x + 5 ) равен нулю при ( x = -5 ), положителен при ( x > -5 ).
     Исследуем знак дроби:
   • При ( x < -5 ) дробь отрицательна.
   • При ( -5 < x < 3 ) дробь положительна.
   • При ( x > 3 ) дробь положительна.
     Следовательно, ( \frac{x-3}{x+5} \geq 0 ) при ( x \in [-5,3] \cup (3, \infty) ).

Пересечение двух условий:
D = ([-5,3] \cup (3, \infty)) \cap ((-\infty, 8) \cup (22, \infty))
D = [-5,3] \cup (3,8) \cup (22, \infty)

в) ( f(x) = \frac{1+x}{\sqrt{x+\frac{18}{2}}} - \arccos(2x+18) )

Функция содержит:

1. Корень ( \sqrt{x + \frac{18}{2}} ), который определен при:
   x + 9 > 0 \Rightarrow x > -9

2. Арккосинус ( \arccos(2x+18) ) определен при:
   -1 \leq 2x + 18 \leq 1
   Решаем неравенство:
   -1 - 18 \leq 2x \leq 1 - 18
   -19 \leq 2x \leq -17
   \frac{-19}{2} \leq x \leq \frac{-17}{2}
   -9.5 \leq x \leq -8.5

Пересечение условий:
D = (-9, -8.5] \cap \left[-9.5, -8.5\right]
D = (-9.5, -8.5]

Ответ:

а) D = \mathbb{R} \setminus \{-18, 0, 18\}
б) D = [-5,3] \cup (3,8) \cup (22, \infty)
в) D = (-9.5, -8.5]