Вычислить пределы функций

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Пределы функций)

Рассмотрим вычисление пределов данных функций:

а)

\lim\limits_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 2x + 1}{5x^2 + x - 1}

Делим числитель и знаменатель на x^3 (наивысшую степень в числителе):

 \lim\limits_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}}. 

При x \to \infty дробные слагаемые стремятся к нулю, остается:

 \lim\limits_{x \to \infty} \frac{4}{0} = \infty. 

Следовательно, предел не существует (уходит в бесконечность).

б)

\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 + x}\right)

Домножим и разделим на сопряженное выражение:

 \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + 1) - (x^2 + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + x}}. 

Числитель:

 x^2 + 1 - x^2 - x = 1 - x. 

Знаменатель:

 \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + x} \approx 2x. 

При x \to \infty:

 \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1 - x}{2x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{2x} - \frac{x}{2x}\right) = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}. 

Ответ: -\frac{1}{2}.

в)

\lim\limits_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 + x - 6}

Подставляем x = 2:

Числитель:

 2(2)^2 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0. 

Знаменатель:

 (2)^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0. 

Получаем неопределенность \frac{0}{0}, разложим на множители:

 2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2), 

 x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3). 

Сокращаем (x - 2):

 \lim\limits_{x \to 2} \frac{2x + 1}{x + 3} = \frac{2(2) + 1}{2 + 3} = \frac{4 + 1}{5} = \frac{5}{5} = 1. 

Ответ: 1.

г)

\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x}{\sqrt{1 - x} - 1}

Домножим и разделим на сопряженное выражение:

 \lim\limits_{x \to 0} \frac{3x (\sqrt{1 - x} + 1)}{(1 - x) - 1}. 

Числитель:

 3x (\sqrt{1 - x} + 1). 

Знаменатель:

 - x. 

Сокращаем x:

 \lim\limits_{x \to 0} -3 (\sqrt{1 - x} + 1). 

При x \to 0:

 -3 (1 + 1) = -3 \cdot 2 = -6. 

Ответ: -6.

д)

\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{(\sin x + \sin 3x)^2}

Используем разложение 1 - \cos 2x \approx 2 \sin^2 x и \sin x + \sin 3x \approx 4x:

 \lim\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{(4x)^2}. 

При малых x:

 \sin x \approx x. 

Подставляем:

 \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x^2}{16x^2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}. 

Ответ: \frac{1}{8}.

е)

\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{2x - 1}{2x + 1}\right)^{x+3}

Запишем дробь в виде:

 \frac{2x - 1}{2x + 1} = 1 - \frac{2}{2x + 1}. 

При x \to \infty:

 1 - \frac{2}{2x + 1} \approx e^{-\frac{2}{2x + 1}}. 

Тогда:

 \left(1 - \frac{2}{2x + 1}\right)^{x+3} \approx e^{-(x+3) \frac{2}{2x + 1}}. 

При x \to \infty:

 \lim\limits_{x \to \infty} e^{-\frac{2(x+3)}{2x+1}} = e^{-1} = \frac{1}{e}. 

Ответ: \frac{1}{e}.