Вычислить предел

Предмет: Математика

Раздел: Пределы функции

Нам дан следующий предел:
\lim_{x \to 3} \left(7 - 2x \right)^{\frac{2}{x - 3}}.

Решение:

1. Анализ предела:
   При подстановке x = 3, основание 7 - 2x становится равным 7 - 6 = 1, а показатель степени \frac{2}{x - 3} стремится к бесконечности (положительной или отрицательной в зависимости от направления). Таким образом, выражение принимает неопределённый вид 1^{\infty}.

2. Применение логарифма:
   Чтобы вычислить данный предел, выразим его через экспоненту и логарифм:
    \lim_{x \to 3} \left(7 - 2x \right)^{\frac{2}{x - 3}} = \exp\left(\lim_{x \to 3} \frac{2}{x - 3} \ln(7 - 2x)\right). 

   Теперь вычислим предел:
   \lim_{x \to 3} \frac{2}{x - 3} \ln(7 - 2x).

3. Замена переменной:
   Пусть t = x - 3. Тогда при x \to 3, t \to 0, и предел перепишется:
    \lim_{x \to 3} \frac{2}{x - 3} \ln(7 - 2x) = \lim_{t \to 0} \frac{2}{t} \ln(7 - 2(3 + t)). 

   Упростим выражение:
   7 - 2(3 + t) = 7 - 6 - 2t = 1 - 2t.
   Тогда:
    \lim_{t \to 0} \frac{2}{t} \ln(1 - 2t). 

4. Разложение логарифма в ряд Тейлора:
   При малых t можем использовать приближение:
   \ln(1 - 2t) \approx -2t.
   Подставим это в предел:
    \lim_{t \to 0} \frac{2}{t} \cdot (-2t) = \lim_{t \to 0} -4 = -4. 

5. Возвращение к экспоненте:
   Теперь вычислим экспоненту:
    \exp\left(-4\right) = e^{-4}. 

Ответ:

\lim_{x \to 3} \left(7 - 2x \right)^{\frac{2}{x - 3}} = e^{-4}.