Решить не применяя правило Лопиталя

Это задача по математике, раздел "Пределы", подраздел "Пределы тригонометрических функций". Нашей целью является нахождение предела без применения правила Лопиталя. Дано: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 7x} \]

Основная идея:

Мы знаем, что предел \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\). Чтобы воспользоваться этим фактом, нужно привести выражение к такому виду.

Переход к удобной форме:

Попробуем преобразовать выражение так, чтобы использовать известное свойство. Для этого разделим числитель и знаменатель на \(x\):

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x / x}{\sin 7x / x} \]

Теперь мы можем воспользоваться следующими свойствами предела:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = 4 \] и \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x} = 7 \]

То есть наш предел преобразуется к:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 4x}{x}}{\frac{\sin 7x}{x}} = \frac{4}{7} \]

Ответ:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 7x} = \frac{4}{7} \]