Проверка, лежат ли точки в одной плоскости

Задание 11: Проверка, лежат ли точки в одной плоскости

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Плоскости в пространстве

Чтобы проверить, лежат ли точки ( A(0; 1; -2) ), ( B(3; 1; -1) ), ( C(2; 4; -4) ), ( D(4; 7; -6) ) в одной плоскости, нужно вычислить смешанное произведение векторов, образованных этими точками. Если смешанное произведение равно нулю, то точки лежат в одной плоскости.

Шаги решения:

1. Найдём векторы: [ \vec{AB} = (3 - 0; 1 - 1; -1 - (-2)) = (3; 0; 1), ] [ \vec{AC} = (2 - 0; 4 - 1; -4 - (-2)) = (2; 3; -2), ] [ \vec{AD} = (4 - 0; 7 - 1; -6 - (-2)) = (4; 6; -4). ]

2. Вычислим смешанное произведение векторов ( \vec{AB} ), ( \vec{AC} ), ( \vec{AD} ): [ [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \ 2 & 3 & -2 \ 4 & 6 & -4 \end{vmatrix}. ]

3. Найдём определитель: [ \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \ 2 & 3 & -2 \ 4 & 6 & -4 \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \ 6 & -4 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \ 4 & -4 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 4 & 6 \end{vmatrix}. ]

   Вычислим каждый минор: [ \begin{vmatrix} 3 & -2 \ 6 & -4 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-4) - (-2) \cdot 6 = -12 + 12 = 0, ] [ \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 4 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0. ]

   Подставляем: [ [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0. ]

4. Так как смешанное произведение равно нулю, точки ( A ), ( B ), ( C ), ( D ) лежат в одной плоскости.

Ответ: Точки лежат в одной плоскости.

Задание 12: Решение системы уравнений матричным методом

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных уравнений

Дана система: [ \begin{cases} x - 2y = -4, \ 3x + y = 9, \ 4x - 3y = 7. \end{cases} ]

Шаги решения:

1. Представим систему в матричной форме: [ A \cdot X = B, ] где: [ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \ 3 & 1 \ 4 & -3 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -4 \ 9 \ 7 \end{pmatrix}. ]

2. Решаем методом наименьших квадратов, так как система переопределена (3 уравнения, 2 переменные): [ X = (A^T A)^{-1} A^T B. ]

3. Вычислим ( A^T A ): [ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix}, ] [ A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \ 3 & 1 \ 4 & -3 \end{pmatrix}. ]

   Вычислим: [ A^T A = \begin{pmatrix} 1^2 + 3^2 + 4^2 & 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-3) \ (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-3) \cdot 4 & (-2)^2 + 1^2 + (-3)^2 \end{pmatrix}. ]

   [ A^T A = \begin{pmatrix} 26 & -11 \ -11 & 14 \end{pmatrix}. ]

4. Найдём обратную матрицу ( (A^T A)^{-1} ): Определитель: [ \det(A^T A) = 26 \cdot 14 - (-11) \cdot (-11) = 364 - 121 = 243. ]

   Обратная матрица: [ (A^T A)^{-1} = \frac{1}{243} \begin{pmatrix} 14 & 11 \ 11 & 26 \end{pmatrix}. ]

5. Найдём ( A^T B ): [ A^T B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \ 9 \ 7 \end{pmatrix}. ]

   Вычислим: [ A^T B = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 9 + 4 \cdot 7 \ (-2) \cdot (-4) + 1 \cdot 9 + (-3) \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 + 27 + 28 \ 8 + 9 - 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 51 \ -4 \end{pmatrix}. ]

6. Найдём ( X ): [ X = (A^T A)^{-1} A^T B = \frac{1}{243} \begin{pmatrix} 14 & 11 \ 11 & 26 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 51 \ -4 \end{pmatrix}. ]

   Вычислим: [ X = \frac{1}{243} \begin{pmatrix} 14 \cdot 51 + 11 \cdot (-4) \ 11 \cdot 51 + 26 \cdot (-4) \end{pmatrix} = \frac{1}{243} \begin{pmatrix} 714 - 44 \ 561 - 104 \end{pmatrix} = \frac{1}{243} \begin{pmatrix} 670 \ 457 \end{pmatrix}. ]

   [ X = \begin{pmatrix} \frac{670}{243} \ \frac{457}{243} \end{pmatrix}. ]

Ответ:
[ x = \frac{670}{243}, \quad y = \frac{457}{243}. ]