Пределы функций нескольких переменных

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Пределы функций нескольких переменных

Решение:

Рассмотрим предел:

 \lim\limits_{\substack{x \to +\infty \ y \to +\infty}} \left( \frac{xy}{x^2 + y^2} \right)^{x^2} 

1. Исследуем выражение внутри скобок:

Рассмотрим функцию:

 f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} 

Попробуем исследовать ее поведение при больших значениях x и y. Разделим числитель и знаменатель на x^2:

 f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{\frac{xy}{x^2}}{1 + \frac{y^2}{x^2}} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^2}{x^2}}. 

Если положить y = kx, то:

 f(x, kx) = \frac{kx \cdot x}{x^2 + k^2 x^2} = \frac{k}{1 + k^2}. 

При любом конечном k это выражение остается ограниченным.

2. Исследуем поведение степени:

Степень x^2 растет неограниченно при x \to +\infty. Поэтому, если основание стремится к числу, отличному от 1, то выражение может стремиться к 0 или бесконечности.

3. Рассмотрим частные случаи:

• Если y = x, то f(x, x) = \frac{x^2}{x^2 + x^2} = \frac{1}{2}.
• Если y = x^2, то f(x, x^2) = \frac{x^3}{x^2 + x^4} = \frac{x}{1 + x^2}, что стремится к 0 при x \to \infty.

Таким образом, в общем случае f(x, y) остается ограниченной, а степень x^2 стремится к бесконечности. Так как основание меньше 1 в пределе, то весь предел стремится к 0.

Ответ:

 \lim\limits_{\substack{x \to +\infty \ y \to +\infty}} \left( \frac{xy}{x^2 + y^2} \right)^{x^2} = 0.