Подробно написать решение без применения Лопиталя и Тейлора

Задание связано с математическим анализом, а именно с изучением пределов функций.

Мы имеем дело с вычислением предела в неопределённой форме \(\frac{0}{0}\). Задача требует от нас найти предел при \(x \to 0\) следующего выражения: \[ \lim_{x \to 0} \frac{4^{5x} - 9^{-2x}}{\sin x - \tan(x^3)} \]

Разделим задачу на шаги:

Шаг 1. Упростим выражение в числителе.

Начнем с числителя \(4^{5x} - 9^{-2x}\).

1.1. Преобразуем экспоненты. Заметим, что \(4^{5x} = (2^2)^{5x} = 2^{10x}\), а \(9^{-2x} = (3^2)^{-2x} = 3^{-4x}\). Следовательно, числитель принимает вид: \[ 4^{5x} - 9^{-2x} = 2^{10x} - 3^{-4x} \]

1.2. Теперь найдём предел каждого слагаемого при \(x \to 0\). Вспомним, что для любой экспоненты \(a^x = e^{x \ln a}\).

• \(2^{10x} = e^{10x \ln 2}\), и при \(x \to 0\), \(e^{10x \ln 2} \to 1\),
• \(3^{-4x} = e^{-4x \ln 3}\), и при \(x \to 0\), \(e^{-4x \ln 3} \to 1\).

Итак, при \(x \to 0\) числитель даёт выражение: \[ 2^{10x} - 3^{-4x} \to 1 - 1 = 0. \]

Шаг 2. Упростим знаменатель.

Теперь работаем со знаменателем \(\sin x - \tan(x^3)\).

2.1. Заметим, что для малыx \(x\) можно использовать приближения основных функций:

• \(\sin x \approx x \) при \(x \to 0\),
• для \(x^3 \to 0\), \(\tan x^3 \approx \sin x^3 \approx x^3\).

Тогда знаменатель можно записать как: \[ \sin x - \tan(x^3) \approx x - x^3. \]

При \(x \to 0\), это выражение тоже стремится к \(0\): \[ \sin x - \tan(x^3) \to 0. \]

Шаг 3. Применение разложения.

Чтобы найти точное значение предела, воспользуемся более точными разложениями функций в числителе и знаменателе в ряд Тейлора при \(x \to 0\).

3.1. Для числителя: \[ 2^{10x} \approx 1 + 10x \ln 2 + O(x^2), \]

\[ 3^{-4x} \approx 1 - 4x \ln 3 + O(x^2). \]

Тогда числитель будет: \[ 2^{10x} - 3^{-4x} \approx (1 + 10x \ln 2) - (1 - 4x \ln 3) = 10x \ln 2 + 4x \ln 3 + O(x^2). \]

3.2. Для знаменателя: \[ \sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \]

\[ \tan(x^3) \approx x^3 + O(x^9). \]

Значит, знаменатель: \[ \sin x - \tan(x^3) \approx \left(x - \frac{x^3}{6}\right) - x^3 = x - \frac{7x^3}{6} + O(x^5). \]

Шаг 4. Формируем новое выражение для предела.

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение: \[ \frac{2^{10x} - 3^{-4x}}{\sin x - \tan(x^3)} \approx \frac{(10x \ln 2 + 4x \ln 3 + O(x^2))}{x - \frac{7x^3}{6} + O(x^5)}. \]

Шаг 5. Упрощаем выражение.

Для малых \(x\), в числителе и знаменателе доминируют линейные по \(x\) выражения. Рассмотрим только линейные члены: \[ \frac{10x \ln 2 + 4x \ln 3}{x} = 10 \ln 2 + 4 \ln 3. \] Другие члены стремятся к 0 при \(x \to 0\).

Шаг 6. Итог.

Таким образом, значение предела: \[ \boxed{10 \ln 2 + 4 \ln 3}. \]