Не пользуясь правилом Лопиталя, найти пределы функций

Предмет: Математика

Раздел: Пределы функций

Дана задача: найти предел функции
\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{2x + 9} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2},
не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение:

1. Определим вид выражения при (x = 8):

   • Числитель:
     \sqrt{2 \cdot 8 + 9} - 5 = \sqrt{25} - 5 = 5 - 5 = 0.

   • Знаменатель:
     \sqrt[3]{8} - 2 = 2 - 2 = 0.

2. Таким образом, предел имеет неопределенность вида \frac{0}{0}.

2. Рассмотрим числитель: Упростим числитель \sqrt{2x + 9} - 5, умножив и разделив его на сопряженное выражение \sqrt{2x + 9} + 5:

    \sqrt{2x + 9} - 5 = \frac{(\sqrt{2x + 9} - 5)(\sqrt{2x + 9} + 5)}{\sqrt{2x + 9} + 5}. 

   В числителе получится разность квадратов:
    (\sqrt{2x + 9})^2 - 5^2 = (2x + 9) - 25 = 2x - 16. 

   Тогда:
    \sqrt{2x + 9} - 5 = \frac{2x - 16}{\sqrt{2x + 9} + 5}. 

3. Подставим преобразование числителя в исходный предел:

    \lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{2x + 9} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2} = \lim_{x \to 8} \frac{\frac{2x - 16}{\sqrt{2x + 9} + 5}}{\sqrt[3]{x} - 2}. 

   Перепишем дробь:
    \lim_{x \to 8} \frac{2x - 16}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt{2x + 9} + 5)}. 

4. Упростим числитель (2x - 16): Вынесем общий множитель (2):
    2x - 16 = 2(x - 8). 

   Тогда предел примет вид:
    \lim_{x \to 8} \frac{2(x - 8)}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt{2x + 9} + 5)}. 

5. Упростим знаменатель (\sqrt[3]{x} - 2): Используем разложение разности кубов:
    \sqrt[3]{x} - 2 = \frac{x - 8}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{2x} + 2}. 

   Подставим это в предел:
    \lim_{x \to 8} \frac{2(x - 8)}{\frac{x - 8}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{2x} + 2} \cdot (\sqrt{2x + 9} + 5)}. 

   Сократим (x - 8) в числителе и знаменателе:
    \lim_{x \to 8} \frac{2}{\left(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{2x} + 2\right)(\sqrt{2x + 9} + 5)}. 

6. Подставим (x = 8):

   • (\sqrt[3]{x^2} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4.)
   • (\sqrt[3]{2x} = \sqrt[3]{2 \cdot 8} = \sqrt[3]{16} = 2.)
   • (\sqrt{2x + 9} + 5 = \sqrt{25} + 5 = 5 + 5 = 10.)

7. Тогда:
    \frac{2}{(4 + 2 + 2) \cdot 10} = \frac{2}{8 \cdot 10} = \frac{2}{80} = \frac{1}{40}. 

Ответ:

\frac{1}{40}