Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Нам необходимо найти предел следующего выражения: \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1 - 2 \cos x}{\pi - 3x} \]
Для начала попробуем подставить \( x = \frac{\pi}{3} \) напрямую в выражение:
\[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \]
Подставляем это в числитель \( 1 - 2 \cos x \):
\[ 1 - 2 \cos \frac{\pi}{3} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0 \]
Теперь посмотрим на знаменатель:
\[ \pi - 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi - \pi = 0 \]
Получаем неопределенность типа \(\frac{0}{0}\), поэтому необходимо применить правило Лопиталя.
Для применения правила Лопиталя нужно найти производные числителя и знаменателя.
Числитель — \( 1 - 2 \cos x \). Производная от \( 1 \) равна нулю, производная от \( -2 \cos x \) равна:
\[ \frac{d}{dx}(-2 \cos x) = 2 \sin x \]
Итак, производная числителя:
\[ \frac{d}{dx}(1 - 2 \cos x) = 2 \sin x \]
Знаменатель — \( \pi - 3x \), производная от \( \pi \) равна \( 0 \), а от \( -3x \) — это \( -3 \). Итак, производная знаменателя:
\[ \frac{d}{dx}(\pi - 3x) = -3 \]
Теперь можем найти новый предел:
\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{2 \sin x}{-3} \]
Подставляем \( x = \frac{\pi}{3} \):
\[ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Теперь подставляем в выражение:
\[ \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{-3} = \frac{\sqrt{3}}{-3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]
\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1 - 2 \cos x}{\pi - 3x} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]