Найти пределы функций, не используя средства дифференциального исчесления

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Пределы функций (без использования производных)

Нам нужно найти предел:

 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2\left(\frac{x}{4}\right)}{x^2} 

Шаг 1: Замена переменной

Пусть u = \frac{x}{4}, тогда x = 4u. При x \to 0 также u \to 0.

Подставим в предел:

 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2\left(\frac{x}{4}\right)}{x^2} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2(u)}{(4u)^2} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2(u)}{16u^2} 

Шаг 2: Используем стандартный предел

Известно, что:

 \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 

Следовательно:

 \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2(u)}{u^2} = \left( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \right)^2 = 1^2 = 1 

Шаг 3: Подставляем в наш предел

 \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2(u)}{16u^2} = \frac{1}{16} 

Ответ:

 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2\left(\frac{x}{4}\right)}{x^2} = \frac{1}{16}  ✅