Найти предел выражения

Предмет: Математика

Раздел: Пределы функций

Нужно найти предел выражения:

\lim_{x \to 2} \frac{x + 4}{\sqrt{x + 7} - 3}

Решение:

1. Подставим (x = 2):

\frac{x + 4}{\sqrt{x + 7} - 3} = \frac{2 + 4}{\sqrt{2 + 7} - 3} = \frac{6}{\sqrt{9} - 3} = \frac{6}{3 - 3} = \frac{6}{0}.

Получаем неопределенность вида \frac{0}{0}. Следовательно, нужно преобразовать выражение.

2. Устранение неопределенности:

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение ( \sqrt{x + 7} + 3 ):

 \frac{x + 4}{\sqrt{x + 7} - 3} \cdot \frac{\sqrt{x + 7} + 3}{\sqrt{x + 7} + 3} = \frac{(x + 4)(\sqrt{x + 7} + 3)}{(\sqrt{x + 7} - 3)(\sqrt{x + 7} + 3)}. 

Знаменатель упрощается по формуле разности квадратов:

(\sqrt{x + 7} - 3)(\sqrt{x + 7} + 3) = (x + 7) - 9 = x - 2.

Тогда выражение становится:

 \frac{(x + 4)(\sqrt{x + 7} + 3)}{x - 2}. 

3. Сокращение:

В числителе (x + 4) можно представить как ( (x - 2) + 6 ). Таким образом:

 \frac{(x - 2) + 6}{x - 2} \cdot (\sqrt{x + 7} + 3). 

Сокращаем (x - 2) в числителе и знаменателе:

 \lim_{x \to 2} (\sqrt{x + 7} + 3). 

4. Подставим (x = 2):

 \sqrt{2 + 7} + 3 = \sqrt{9} + 3 = 3 + 3 = 6. 

Ответ:

\lim_{x \to 2} \frac{x + 4}{\sqrt{x + 7} - 3} = 6.