Найти предел указанной функции

Предмет: Математика

Раздел: Пределы функций

Нам требуется найти предел указанной функции при x \to -1, не используя правило Лопиталя.

Функция имеет вид:
\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt[3]{2x+1} + 1}{\sqrt[3]{x+2} + x}.

Шаг 1: Подстановка значения x = -1

Подставим x = -1 в числитель и знаменатель:

• Числитель:
  \sqrt[3]{2(-1) + 1} + 1 = \sqrt[3]{-2 + 1} + 1 = \sqrt[3]{-1} + 1 = -1 + 1 = 0.

• Знаменатель:
  \sqrt[3]{-1 + 2} + (-1) = \sqrt[3]{1} - 1 = 1 - 1 = 0.

Таким образом, мы имеем неопределенность вида \frac{0}{0}.

Шаг 2: Преобразование выражения

Чтобы устранить неопределенность, воспользуемся разложением кубического корня в окрестности точки x = -1.

Для кубического корня \sqrt[3]{a} при малых отклонениях от a можно записать:
\sqrt[3]{a} \approx \sqrt[3]{b} + \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{b^2}}(a - b),
где b — значение корня в точке.

Числитель:

Разложим \sqrt[3]{2x + 1} около точки x = -1:
2x + 1 \to 2(-1) + 1 = -1.

Следовательно:
\sqrt[3]{2x + 1} \approx \sqrt[3]{-1} + \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{(-1)^2}}(2x + 1 - (-1)) = -1 + \frac{1}{3}(2x + 2).

Числитель:
\sqrt[3]{2x + 1} + 1 \approx \left(-1 + \frac{1}{3}(2x + 2)\right) + 1 = \frac{1}{3}(2x + 2).

Знаменатель:

Разложим \sqrt[3]{x + 2} около точки x = -1:
x + 2 \to -1 + 2 = 1.

Следовательно:
\sqrt[3]{x + 2} \approx \sqrt[3]{1} + \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{1^2}}(x + 2 - 1) = 1 + \frac{1}{3}(x + 1).

Знаменатель:
\sqrt[3]{x + 2} + x \approx \left(1 + \frac{1}{3}(x + 1)\right) + x = 1 + x + \frac{1}{3}(x + 1) = 1 + x + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4x + 4}{3}.

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь предел принимает вид:
\lim_{x \to -1} \frac{\frac{1}{3}(2x + 2)}{\frac{1}{3}(4x + 4)}.

Сократим \frac{1}{3}:
\lim_{x \to -1} \frac{2x + 2}{4x + 4}.

Вынесем множители 2 из числителя и знаменателя:
\lim_{x \to -1} \frac{2(x + 1)}{2(2x + 2)} = \lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{2x + 2}.

Сократим x + 1:
\lim_{x \to -1} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Ответ:

\frac{1}{2}.