Найти предел функции, не используя правило Лопиталя

Предмет: Математика
Раздел: Пределы функций

Нужно найти предел функции, не используя правило Лопиталя.

Функция задана как:
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{6x^2 - 16x - 6}

Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель

Числитель x^2 - 9 можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).

Знаменатель 6x^2 - 16x - 6 разложим с помощью группировки. Сначала вынесем общий множитель:
6x^2 - 16x - 6 = 2(3x^2 - 8x - 3).

Теперь разложим квадратный трёхчлен 3x^2 - 8x - 3 на множители. Для этого найдём его корни с помощью дискриминанта:
D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100.
Корни:
x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 10}{6}.
x_1 = 3, \, x_2 = -\frac{1}{3}.

Разложение трёхчлена:
3x^2 - 8x - 3 = 3(x - 3)(x + \frac{1}{3}).
Умножим второй множитель на 3, чтобы избавиться от дроби:
3x^2 - 8x - 3 = (x - 3)(3x + 1).

Подставим это разложение обратно в знаменатель:
6x^2 - 16x - 6 = 2(x - 3)(3x + 1).

Шаг 2: Сокращение общего множителя

Функция теперь имеет вид:
\frac{(x - 3)(x + 3)}{2(x - 3)(3x + 1)}.

Сократим общий множитель (x - 3) (при x \neq 3):
\frac{x + 3}{2(3x + 1)}.

Шаг 3: Подставим x = 3

После упрощения функция становится непрерывной, и мы можем подставить x = 3:
\frac{x + 3}{2(3x + 1)} = \frac{3 + 3}{2(3 \cdot 3 + 1)} = \frac{6}{2(9 + 1)} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.

Ответ:

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{6x^2 - 16x - 6} = \frac{3}{10}.