Найти предел функции

Предмет: Математика

Раздел: Пределы функций

Нам требуется найти предел функции при ( x \to \infty ). Функция дана в виде дроби:

 \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 5 - 3x^5}{5x^2 + x^3 + 2x^6}. 

Решение:

1. Анализ степени числителя и знаменателя
   В числителе: ( 4x + 5 - 3x^5 ).
   Наибольшая степень ( x^5 ).

   В знаменателе: ( 5x^2 + x^3 + 2x^6 ).
   Наибольшая степень ( x^6 ).

2. Доминирующие члены
   При ( x \to \infty ), наибольшие члены (доминирующие) будут:

   • В числителе: (-3x^5),
   • В знаменателе: ( 2x^6 ).

3. Таким образом, дробь при больших ( x ) приближается к виду:
    \frac{-3x^5}{2x^6}. 

4. Упрощение дроби
   Сократим ( x^5 ) в числителе и знаменателе:
    \frac{-3x^5}{2x^6} = \frac{-3}{2x}. 

5. Предел при ( x \to \infty )
   При ( x \to \infty ), знаменатель ( 2x \to \infty ), а дробь ( \frac{-3}{2x} \to 0 ).

Ответ:

 \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 5 - 3x^5}{5x^2 + x^3 + 2x^6} = 0.