Найти предел

Предмет: Математика

Раздел: Пределы функций

Нам нужно найти предел:

 \lim\limits_{x \to 4} (17 - 4x)^{\operatorname{ctg}(x^2 - 16)} 

1. Определяем неопределенность

Подставим x = 4:

• Основание: 17 - 4(4) = 17 - 16 = 1.
• Показатель: \operatorname{ctg}(x^2 - 16) = \operatorname{ctg}(4^2 - 16) = \operatorname{ctg}(16 - 16) = \operatorname{ctg}(0).

Так как \operatorname{ctg}(0) = \infty, то выражение приобретает вид 1^\infty, что является неопределенностью.

2. Переход к логарифму

Обозначим y = (17 - 4x)^{\operatorname{ctg}(x^2 - 16)} и возьмем натуральный логарифм:

 \ln y = \operatorname{ctg}(x^2 - 16) \cdot \ln(17 - 4x) 

Найдем предел:

 \lim\limits_{x \to 4} \operatorname{ctg}(x^2 - 16) \cdot \ln(17 - 4x) 

3. Замена переменной

Обозначим t = x^2 - 16. Тогда при x \to 4 имеем t \to 0.

При малых t:

• \operatorname{ctg}(t) \approx \frac{1}{t}.
• \ln(17 - 4x) = \ln(1 + (1 - 4x)) \approx (1 - 4x) при малых (1 - 4x).

Так как x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4), то при x \to 4 имеем x - 4 \to 0, а значит, t \approx 8(x - 4).

Тогда предел принимает вид:

 \lim\limits_{x \to 4} \frac{\ln(17 - 4x)}{x^2 - 16} .

При x \to 4 числитель стремится к \ln 1 = 0, а знаменатель к 0. Используя разложения, получаем, что предел равен 0.

4. Итог

Так как \ln y \to 0, то y = e^0 = 1.

Ответ:
 \lim\limits_{x \to 4} (17 - 4x)^{\operatorname{ctg}(x^2 - 16)} = 1 .